Polinom Fonksiyon {çözüldü}

[alpercay]

$f$ polinom fonksiyon olmak üzere her $x$ reel sayısı için $$(x+7)f(x)-(x+1)f(x+2)=0$$ koşulunu sağlıyor.

$f(1)=24$ ise $f$ fonksiyonunu bulunuz.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $f(x) = \dfrac{1}{2}(x+1)(x+3)(x+5)$.

Çözüm: $f$ nin sıfır polinomu olmadığı açıktır. Verilen denklemde $x=-1$ ve $x=-7$ yazarsak $f(-1)=f(-5)=0$ buluruz. O halde $f(x)=(x+1)(x+5)g(x)$ biçiminde bir $g$ polinomu vardır.  Bu değeri verilen eşitlikte yazarsak ve sadeleştirme yaparsak $g(x)(x+5) = g(x+2)(x+3)$ elde ederiz. Burada $x=-3$ yazarsak $g(-3)=0$ olup $g(x)=(x+3)h(x)$ olacak şekilde bir $h$ polinomu vardır. Bu değeri de $g(x)(x+5) = g(x+2)(x+3)$ eşitliğinde yazıp sadeleştirme yaparsak $h(x)=h(x+2)$ elde ederiz. Her $x$ gerçel sayısı için bu eşitlik sağlandığından, $h$ polinomu sabit olmalıdır. $h(x)=a$ diyelim. $f(x)=a(x+1)(x+3)(x+5)$ olup $f(1)=24=48a$ eşitliğinden $a=\dfrac{1}{2}$ bulunur. Yani $f(x) = \dfrac{1}{2}(x+1)(x+3)(x+5)$ tir.