Eğer herhangi bir $x_0\in \mathbb{R}$ için $f(x_0)\neq g(x_0)$ ise elimizde iki ihtimal vardır.
$i)$ Eğer $x_0\in \mathbb{Q}$ ise $x_0\neq 0$ durumunda $a_n=x_0(1-2^{-n}\pi)$ olarak, $x_0=0$ durumunda $a_n=2^{-n}\pi$ olacak şekilde bir dizi tanımlayalım. Bu dizi bariz bir şekilde $x_0$'a yakınsıyor ama tüm terimleri irrasyoneldir. $h$ fonksiyonu eğer $x_0$ noktasında sürekli ise $$\lim_{n\to \infty} h(a_n)=h(\lim_{n\to \infty} a_n)=h(x_0)=f(x_0)$$ ancak $a_n$'ler irrasyonel olduğundan ve $g$ sürekli olduğundan $$\lim_{n\to \infty} h(a_n)=\lim_{n\to \infty} g(a_n)=g(\lim_{n\to \infty} a_n)=g(x_0)$$ elde edilir. Bu bir çelişkidir çünkü $f(x_0)\neq g(x_0)$ kabul etmiştik.
$ii)$ Eğer $x_0\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ ise $a_n=\frac{\lfloor 10^nx_0\rfloor}{10^n}$ olarak alalım. Yani $x_0$'nun virgülden sonraki ilk $n$ basamağına kadar olan kısmını almış oluruz. Burada da $a_n\to x_0$ olur fakat her $n$ için $a_n\in \mathbb{Q}$ olur. Eğer $h$ fonksiyonu $x_0$'da sürekli ise $$\lim_{n\to \infty} h(a_n)=h(\lim_{n\to \infty} a_n)=h(x_0)=g(x_0)$$ olur fakat yukarıdaki duruma benzer şekilde $$\lim_{n\to \infty} h(a_n)=\lim_{n\to \infty} f(a_n)=f(\lim_{n\to \infty} a_n)=f(x_0)$$ olur ve yine çelişki elde ederiz.
Yani $h$ herhangi bir noktada sürekli ise o noktada $f(x_0)=g(x_0)$ olmalıdır. Şimdi süreklilik şartını tekrarlayalım.
$h$ fonksiyonunun $x_0$ noktasında sürekli olması için, her $\epsilon>0$ için öyle bir $\delta>0$ bulunmalıdır ki $$|x-x_0|<\delta\implies |h(x)-h(x_0)|<\epsilon$$ olmalıdır. $f$ ve $g$ sürekli olduğundan öyle iki $\delta_1,\delta_2>0$ vardır ki $$|x-x_0|<\delta_1\implies |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$$ $$|x-x_0|<\delta_2\implies |g(x)-g(x_0)|<\epsilon$$
Eğer $f(x_0)=g(x_0)$ ise $M(x)=\max\{|f(x)-f(x_0)|,|g(x)-g(x_0)|\}$ olarak tanımlarsak, $\min\{\delta_1,\delta_2\}=\delta$ için $$|x-x_0|<\delta \implies M(x)<\epsilon$$ olur. $|h(x)-h(x_0)|\leq M(x)$ olduğundan $|h(x)-h(x_0)|<\epsilon$ olur ve $h$ fonksiyonu $x_0$ noktasında sürekli bulunur.
Dolayısıyla $h$ fonksiyonunun $x_0$ noktasında sürekli olması için gerek ve yeterli şart $f(x_0)=g(x_0)$ olmasıdır.
