Nesbitt Eşitsizliği ve Genelleştirilmesi {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Educational Times isimli dergide 1902 de basılan ve 1903'te çözümü yayınlanan A.M. Nesbbitt'e ait bir eşitsizlik problemini sunalım.  Sonra da bu eşitsizlik için verilen bir genellemeyi paylaşalım:


Nesbitt Eşitsizliği: $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları ise $\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}$ olduğunu ispatlayınız.


Genelleştirilmiş Nesbitt Eşitsizliği: $a_1,a_2,\dots,a_n$ ($n\geq 2$) pozitif gerçel sayıları ve $ s=a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ ise
$$ \dfrac{a_1}{s-a_1} + \dfrac{a_2}{s-a_2} + \cdots + \dfrac{a_n}{s-a_n} \geq \dfrac{n}{n-1}  $$
veya buna denk olarak
$$ \sum_{i=1}^n\dfrac{s}{s-a_i} \geq \dfrac{n^2}{n-1}$$
olduğunu ispatlayınız. Eşitlik durumunu belirleyiniz.


Not: Genelleştirilmiş durumda $n=2$ alınırsa, $\dfrac{a_1}{a_2} + \dfrac{a_2}{a_1} \geq 2$ eşitsizliği oluşur. Bu ise aritmetik ortalama-geometrik ortalama eşitsizliğinden kolayca elde edilir. Artık $n\geq 3$ varsayabiliriz.

[Lokman Gökçe]

İspat 1: İspatlamak istediğimiz $\dfrac{a_1}{s-a_1} + \dfrac{a_2}{s-a_2} + \cdots + \dfrac{a_n}{s-a_n} \geq \dfrac{n}{n-1}$ eşitsizliğinin sol tarafındaki her bir terime $1$ ekleyelim. Sağ tarafa da $n$ eklemeliyiz. Böylece
$$ \sum_{i=1}^n\dfrac{s}{s-a_i} \geq \dfrac{n^2}{n-1} $$
eşitsizliğini ispatlamamız gerektiğini anlarız. $s-a_1, s-a_2, \dots , s-a_n$ terimlerine aritmetik ortalama-harmonik ortalama eşitsizliğini uygulayalım:

$$ \dfrac{s-a_1 + s-a_2 + \cdots + s-a_n}{n} \geq \dfrac{n}{\dfrac{1}{s-a_1} + \dfrac{1}{s-a_2} + \cdots + \dfrac{1}{s-a_n}}$$

olup $s-a_1 + s-a_2 + \cdots + s-a_n = (n-1)s$ yazarak düzenlersek
$$ \sum_{i=1}^n\dfrac{s}{s-a_i} \geq \dfrac{n^2}{n-1} $$
sonucuna ulaşırız. Ortalama eşitsizliğinde eşitlik durumu yalnızca $a_1=a_2=\cdots = a_n$ iken sağlanır.

$\color{blue}\bullet $ Bu yöntem aynı zamanda $n=3$ hali olan Nesbitt eşitsizliği için de geçerlidir. Nesbitt eşitsizliğinin (veya istenirse genelleştirilmiş biçiminin) diğer ispatlarından bildiklerimizi buraya yazabiliriz. Türkçe kaynak oluşumuna da katkı vermiş oluruz.

[Lokman Gökçe]

İspat 2: $S= \dfrac{a_1}{s-a_1} + \dfrac{a_2}{s-a_2} + \cdots + \dfrac{a_n}{s-a_n} $ diyelim. Sol taraftaki $i$-inci kesri $a_i$ ile genişletelim ve Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin faydalı biçimini (Bergström eşitsizliğini) uygulayalım:

$$ S= \dfrac{a_1^2}{sa_1-a_1^2} + \dfrac{a_2^2}{sa_2-a_2^2} + \cdots + \dfrac{a_n^2}{sa_n-a_n^2}  \geq \dfrac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2}{s(a_1 + a_2 + \cdots + a_n) - (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)} = \dfrac{s^2}{s^2 - (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)} \tag{1}$$

olur. Öte yandan, Klasik Cauchy-Schwarz eşitsizliği veya aritmetik ortalama-karesel ortalama eşitsizliği uygulayarak

$$ (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 \leq n(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2) $$

veya buna eşdeğer olarak

$$ a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 \geq \dfrac{s^2}{n} \tag{2}$$

elde ederiz. $(2)$ eşitsizliğini $(1)$ de kullanırsak, $S \geq \dfrac{s^2}{s^2 - \dfrac{s^2}{n}} = \dfrac{n}{n-1}$ sonucuna ulaşılır. Ortalama eşitsizliği kullandığımızı hatırlarsak, eşitlik durumu yalnızca tüm $a_i$ terimleri birbirine eşit iken sağlanır.