Limit alma işlemi

[eals012]

(x-1/x)^x  fonksiyonunun sonsuzsa limiti var mıdır? Yakınsadığı değer 0.368 gibi ama mantıklı ve tam çözümünü anlatır mısınız?
(olimpiyatla uzun süredir ilgilenmiyorum. O yüzden paslanmışım limiti alınır mı ondan da emin değilim.)

[Lokman Gökçe]

$\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \left(x-\dfrac{1}{x}\right)}=\infty - \dfrac{1}{\infty} = \infty - 0 = \infty $  olduğundan $\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^x = \infty^\infty = \infty} $ olur.



Not: Yukarıdaki limitte belirsizlik oluşmadığı için hesaplaması kolaydı. Biraz daha düşündürücü olabilecek benzer yapıda bir soruyu belirsiz limitler başlığı altında sordum. Denemek isteyenler için paylaşmış olayım.

[eals012]

Çok özür dileyerek belirtmek istiyorum ki benim söylemek istediğim: limx→∞  ((x-1)/x)^x.
pay 1^-olurken kuvvet sürekli artıyor.
Bunun çözümü var mı?

[Lokman Gökçe]

Expotential fonksiyonun tabanı olan ve Euler sabiti olarak da bilinen $e\approx 2.7182$ sayısı hakkında aşağıdaki teoremi bilmekte fayda var.

Teorem: $\displaystyle {a_n = \left( 1 + \dfrac{1}{n}\right)^n}$ genel terimiyle tanımlanan $(a_n)$ dizisi üstten sınırlıdır ve monoton artandır. Bu teoremin ispatı için matematik kafası sitesinden buraya ve şuraya bakılabilir.

Sonuç: Monoton yakınsaklık teoremi gereği $(a_n)$ dizisinin bir limiti vardır. Bu limit değerini göstermek için bir harf seçiyoruz. Mesela $e$ olsun. O halde $\displaystyle {\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n}\right)^n} = e$ yazılır. Bu, $e$ sabitinin bir tanımıdır.

Bu teoremi kullanarak $\displaystyle {\lim_{n\to\infty} \left( 1 \color{red}{-} \dfrac{1}{n}\right)^n} = e^{\color{red}{-1}}=\dfrac{1}{e}\approx 0.3678$ elde ederiz.