Farklı metrikler arasında sürekli olan fonksiyon

[Metin Can Aydemir]

Sorudan önce birkaç tanım verelim. Her tanımı burada veremeyeceğimden temel olan tanımları vermiyorum.

$l_p=\left\{(x_k)_{k=1}^{\infty}: \forall k\in\mathbb{Z}^+, \quad x_k\in\mathbb{R}\text{ ve }\sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p<\infty\right\}$ ve bu uzayın metriği $x=(x_k)_{k=1}^{\infty}$ ve $y=(y_k)_{k=1}^{\infty}$ için $d_p(x,y)=\left(\sum_{n=1}^{\infty} |x_n-y_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}$ olarak tanımlanır.

Sürekli fonksiyon: $(X,d_1)$ ve $(Y,d_2)$ iki tane metrik uzay olsun. $f: X\to Y$ fonksiyonunun $c$ noktasında sürekli olması için $\forall \epsilon>0$, $\exists\delta>0$ öyle ki $$d_1(x,c)<\delta\implies d_2(f(x),f(c))<\epsilon$$ olmalıdır ve eğer $f$ fonksiyonu her $c\in X$ noktasında sürekli ise $f$ fonksiyonuna sürekli fonksiyon denir.

Sınırlı küme (Bounded set): Eğer her $x\in A\subset X$ için $d(x,c)<M$ olacak şekilde bir sabit $M>0$ ve $c\in X$ varsa $A$ kümesine $(X,d)$ uzayında sınırlı denir. (Genelde $c=0$ alınır, örneğin $l_p$'de $c=(0,0,\dots)$ olarak seçilebilir.)

Tamamen sınırlı küme (Totally bounded set): Herhangi bir $\epsilon>0$ için eğer $$A \subset\bigcup_{n=1}^{N} B(a_n,\epsilon)$$ olacak şekilde bir $N\in\mathbb{N}$ ve $(a_k)_{k=1}^{N}$ dizisi varsa $A$ kümesine tamamen sınırlı küme denir. Her tamamen sınırlı küme aynı zamanda sınırlı kümedir fakat tersi her zaman doğru değildir.

$B(a,r)$ notasyonu $a$ merkezli $r$ yarıçaplı open-ball'u temsil eder. Kenarları dahil edilmemiş bir disk gibi düşünebilirsiniz, $$B(a,r)=\{b\in X: d(a,b)<r\}$$ Prekompakt küme (Precompact set): Herhangi bir $A\subset X$ kümesine, eğer $\overline{A}$ ($A$'nın kapanışı veya closure'ı) kompakt ise prekompakt denir.

Lemma 1: Bir metrik uzayda prekompaktlık ve tamamen sınırlı olma koşulları birbirine denktir.

Lemma 2: $A\subset l_p$ kümesinin $(l_p,d_p)$ uzayında tamamen sınırlı bir küme olması için gerek ve yeterli şart, $\forall \epsilon>0$, $\exists N\in\mathbb{N}$ öyle ki her $x\in A$ için $$\sum_{n=N}^{\infty}|x_n|^p<\epsilon$$ olmasıdır.

Evrensel özdeşlik (homeomorphism): Eğer birebir, örten ve sürekli bir $f: X\to Y$ fonksiyonunun tersi de sürekli ise $f$'ye evrensel özdeşlik denir. Böyle bir fonksiyon varsa $X$ ve $Y$ metrik uzaylarına da özdeş denir.

Soru: $T_{\alpha}: l_3\to l_2$ fonksiyonunu $(x_k)_{k=1}^{\infty}\mapsto \left(\frac{x_k}{k^{\alpha}}\right)_{k=1}^{\infty}$ olarak tanımlayalım.
$a)$ Hangi $\alpha\in\mathbb{R}$ için $T_{\alpha}$ gerçekten $l_3$'ten $l_2$'ye bir fonksiyondur? (Well-definedness)
$b)$ $a$ şıkkında bulunan her $\alpha$ değeri için $T_{\alpha}$ sürekli midir?
$c)$ $a$ şıkkında bulunan her  $\alpha$ değeri için $T_{\alpha}$ fonksiyonu $l_3$'teki her sınırlı kümeyi $l_2$'deki bir prekompakt kümeye götürür mü?
$d)$ $T_1$ fonksiyonunu, $T'_1:l_3\to T_1(l_3)$ olarak birebir örten hale getirirsek, $T'_1$ bir evrensel özdeşlik olur mu?

[Metin Can Aydemir]

$a)$ Her $n\in \mathbb{Z}^+$ için $x_n=n^{-5/12}$ olacak şekilde bir $x=(x_n)_{n=1}^{\infty}$ dizi tanımlayalım. $$\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^3=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-15/12}$$ yakınsar çünkü $\frac{15}{12}>1$'dır. Yani $x\in l_3$'dür. $T_{\alpha}$'nın fonksiyon olması için $x'=\left(\frac{x_n}{n^{\alpha}}\right)_{n=1}^{\infty}$ dizisinin $l_2$'de olması gerekir. Yani $$\sum_{n=1}^{\infty}\left\lvert \frac{x_n}{n^{\alpha}}\right\rvert^2=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-10/12-\alpha}<\infty \implies \frac{10}{12}+\alpha>1\implies \alpha>\frac{1}{6}$$ Şimdi her $\alpha>\frac{1}{6}$ ise her $x\in l_3$ için $T_{\alpha}(x)\in l_2$ olduğunu gösterelim. Hölder eşitsizliğinden $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{|x_k|^2}{k^{2\alpha}}\leq \left(\sum_{k=1}^{\infty} (|x_k|^2)^{3/2}\right)^{2/3}\left(\sum_{k=1}^{\infty} \left(k^{-2\alpha}\right)^{3}\right)^{1/3}= \left(\sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^3\right)^{2/3}\left(\sum_{k=1}^{\infty} k^{-6\alpha}\right)^{1/3}$$ olur. $\alpha>\frac{1}{6}$ olduğundan ve $x\in l_3$ olduğundan $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{|x_k|^2}{k^{2\alpha}}\leq  \left(\sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^3\right)^{2/3}\left(\sum_{k=1}^{\infty} k^{-6\alpha}\right)^{1/3}<\infty$$ olur. Yani $T_{\alpha}(x)\in l_2$ elde edilir. Sonuç olarak $T_{\alpha}$'nın fonksiyon olmasını sağlayan tüm $\alpha$'lar $\left(1/6,\infty\right)$'dır.

[Metin Can Aydemir]

$b)$ Fonksiyonun her $\alpha>\frac{1}{6}$ için sürekli olduğunu gösterelim. Yani fonksiyonun her $c\in l_3$ noktasında sürekli olması gerekir. $\forall \epsilon>0$, öyle bir $\delta>0$ olduğunu göstermeliyiz ki $$d_3(x,c)<\delta\implies d_2(T_{\alpha}(x),T_{\alpha}(c))<\epsilon$$ olsun. Yani $$\sum_{n=1}^{\infty} |x_n-c_n|^3<\delta\implies \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x_n-c_n|^2}{k^{2\alpha}}<\epsilon$$ olmalı. Bunun için $a$ şıkkında elde ettiğimiz eşitsizliği kullanalım. $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{|x_k-c_k|^2}{k^{2\alpha}}\leq  \left(\sum_{k=1}^{\infty} |x_k-c_k|^3\right)^{2/3}\left(\sum_{k=1}^{\infty} k^{-6\alpha}\right)^{1/3}<\delta^{2}\zeta^{1/3}(6\alpha)$$ Yani eğer biz $\delta=\sqrt{\frac{\epsilon}{\zeta^{1/3}(6\alpha)}}$ seçersek $\delta^{2}\zeta^{1/3}(6\alpha)=\epsilon$ elde ederiz. Dolayısıyla $T_{\alpha}$ fonksiyonu her $\alpha>\frac{1}{6}$ için süreklidir.