Ravi Dönüşümü-2 {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem: Kenar uzunlukları $a,b,c$ ve yarı çevresi $s$ olan bir üçgende
$$ a^2(s-a)+b^2(s-b)+c^2(s-c)\leq \dfrac{3}{2}abc $$

eşitsizliğini ispatlayınız. (İpucu: Bkz Ravi.)

[alpercay]

$s=\dfrac{a+b+c} {2} $ ve Ravi dönüşümünden  $a=y+z, b=x+z, c=x+y$ alıp eşitsizliğin doğru olduğunu varsayarak ve sadeleştirmeleri yazmayarak gösterilmesi istenen $$y^2z+zx^2+yx^2+z^2y+y^2x+z^2x\ge 6xyz$$ eşitsizliği elde olunur. Bunun doğruluğunu göstermek için eşitsizliğin terimlerine soldan sağa ikişer ikişer aşağıdaki gibi AO-GO eşitsizliği uygulanır $$y^2z+zx^2\ge 2xyz$$ $$yx^2+z^2y\ge 2xyz$$ $$y^2x+z^2x\ge 2xyz$$ ve toplanırsa eşitsizliğin doğru olduğu görülür.

[Lokman Gökçe]

Çözüm için çok teşekkürler Alper Çay hocam. Minik bir ekleme yapabilirim: $6$ terimin hepsine tek seferde aritmetik ortalama-geometrik ortalama eşitsizliği uygulayarak da $y^2z+zx^2+yx^2+z^2y+y^2x+z^2x\ge 6xyz$ elde edebiliriz.

[alpercay]

Ülkemizde benzeri olmayan Geomania sitesini kurduğun ve yaşattığın için ben teşekkür ederim Sayın hocam.

[Lokman Gökçe]

Kurulduğu günden bu yana destek veren sizlere ve sonraki dönemlerde katılıp katkı veren herkese ben teşekkür ederim. Beraber başardık, sitemizin daha iyi günleri görmesi ve çok daha fazla kişiye yardımcı olabilmesi dileğiyle