Pisagor Üçlülerinin alternatif ispatı

[Metin Can Aydemir]

Soru (Pisagor üçlüleri): $x,y,z$ ikişerli aralarında asal pozitif tamsayılar olmak üzere, $$x^2+y^2=z^2$$ denkleminin çözümlerini bulunuz.

Yukarıdaki soruya denk başka bir soru: $p,q$ pozitif rasyonel sayılar olmak üzere, $$p^2+q^2=1$$ denkleminin çözümlerini bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

İkinci soruya odaklanalım. $x^2+y^2=1$ çemberini çizelim. Bu çemberin üzerindeki noktaları parametrize edelim. Çember üzerinde parametrize edeceğimiz nokta ile $(-1,0)$ noktasını bir doğru ile birleştirelim. Bu doğrunun $y$-eksenini kestiği noktasının ordinatı $(\lambda)$ ile parametrizasyonumuzu sağlayacağız. Çember üzerindeki her nokta ($(-1,0)$ hariç) ile $y$-ekseni üzerindeki her nokta birebir-örten olarak eşleşir.

Verilen denklemin çözümü olan bir $(x,y)$ noktasını alalım. Bu nokta çemberin üzerinde, birinci bölgede yer alacaktır. Bu noktanın $\lambda$'sına bakarsak, basit bir üçgen benzerliği ile $0<\lambda<1$ ve $\lambda$'nın rasyonel sayı olacağını görebiliriz (Hatta $\lambda=\frac{y}{x+1}$ olacaktır).

Eğer $0<\lambda<1$ değeri rasyonel ise bu $\lambda$'ya karşılık gelen nokta $(x,y)$ için $x^2+y^2=1$ ve $\lambda=\frac{y}{x+1}$ olacaktır. $$x^2+y^2=x^2+\lambda^2(x+1)^2=1\implies (1+\lambda^2)x^2+2\lambda^2x+(\lambda^2-1)=(x+1)((1+\lambda^2)x+(\lambda^2-1))=0$$ $$\implies x=\frac{1-\lambda^2}{\lambda^2+1}$$ Yani $x$, ve dolayısıyla $y$ de rasyoneldir. Dolayısıyla burada "ancak ve ancak" ilişkisi vardır. Bizim denklem çözümünü bulmamız için sadece $\lambda$'yı rasyonel olarak incelememiz yeterlidir. Yukarıda bulduğumuz gibi $\lambda$ için $(x,y)=\left(\frac{1-\lambda^2}{\lambda^2+1},\frac{2\lambda}{\lambda^2+1}\right)$ olduğundan $(a,b)=1$ için $\lambda=\frac{a}{b}$ yazarsak $$(x,y)=\left(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2},\frac{2ab}{a^2+b^2}\right)$$ elde edilir.

Pisagor üçlüleri de bu çözümden kolayca $(a,b)=1$ için $(x,y,z)=(b^2-a^2,2ab,a^2+b^2)$ bulunur.

[alpercay]

Burada temel Pisagor üçlülerini mi bulduk? Öyleyse $(a, b)=1$ şartına ilaveten ikisinden birinin çift olması şartını da eklemek gerekir sanırım.

[Metin Can Aydemir]

Burada temel Pisagor üçlülerini mi bulduk? Öyleyse $(a, b)=1$ şartına ilaveten ikisinden birinin çift olması şartını da eklemek gerekir sanırım.

Evet, son kısmın üzerinde durmadan yazıp bırakmışım. Rasyonel sayılı olan kısımda sadeleştirme önemli olmadığından direkt bırakabiliriz ama asıl pisagor üçlülerine geçerken aralarında asallığa bakmalıyız. $(2ab,a^2+b^2)=d\neq 1$ ise $p\mid d$ olan bir $p$ asalı için $p\mid 2$ veya $p\mid a$ veya $p\mid b$ olmalıdır. Eğer $p\mid a$ veya $p\mid b$ ise bariz şekilde $p\mid (a,b)$ olur ve çelişki elde ederiz. Yani $p=2$ olmalıdır. Eğer $4\mid d$ ise $4\mid a^2+b^2$ olmalıdır ve $\pmod{4}$'den $2\mid (a,b)$ elde ederiz. Bu bir çelişkidir. Yani $d=1$ veya $d=2$ olabilir. Aynı işlemi $\frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}$ kesri için de yapabiliriz. $d=2$ durumu $a$ ve $b$ tek iken olur. Bu yüzden bu kesirlerden elde edeceğimiz pisagor üçlüleri eğer $a$ ve $b$'den biri tek biri çiftse $(b^2-a^2,2ab,a^2+b^2)$, eğer $a$ ve $b$ tekse $\left(\frac{b^2-a^2}{2},ab,\frac{a^2+b^2}{2}\right)$ olur. Bölülerden kurtulmak için $b=c+d$, $a=c-d$ yazabiliriz. $a,b$ tek olduğundan $c$ ve $d$'den biri tek, diğeri çifttir. Böylece $(2cd,c^2-d^2,c^2+d^2)$ çözümü elde edilir. İki çözümü birleştirince $(a,b)=1$ şartına birinin tek, diğerinin çift olmasını eklememizin yeterli olduğunu görürüz.