$\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ Eşitliği

[alpercay]

$p$ asal sayısı için $$\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$$ denkleminin birbirinden farklı tek çözümünün $$x=p+1,
  y=p^2+p$$ olduğunu gösteriniz.

Kolay bir sonuç. Burada bulunsun.

[Lokman Gökçe]

Çözüm: $\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ denkleminin $x<y$ koşulu altındaki pozitif tam sayı çözümleri isteniyor. $xy - px - py = 0$ olup her iki tarafa $p^2$ eklersek, $xy - px - py +p^2 = p^2 \implies (x-p)(y-p)=p^2$ dir. $p^2$ nin pozitif tam bölenleri $3$ tanedir. Bunlar $1, p, p^2$. $x<y$ koşuluna uygun olarak sadece $x-p=1$, $y-p = p^2$ durumu vardır ve $(x,y)=(p+1, p^2+p)$ çözüm ikilisi elde edilir.