2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 14

[matematikolimpiyati]

$100^2+1,\ 100^2+2,\ 100^2+3,...,102^2-2,\ 102^2-1,\ 102^2$ sayılarından $100$'e bölünenlerin toplamının, kaç pozitif çift böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 20  \qquad\textbf{b)}\ 22  \qquad\textbf{c)}\ 24  \qquad\textbf{d)}\ 18  \qquad\textbf{e)}\ 27$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Sayılar $100^2+1$'den başladığından $100^2+100k$ şeklindeki sayıları arıyoruz. $102^2=100^2+4\cdot 100+4$ olduğundan Aradığımız sayılar, $$100^2+100,~100^2+200,~, 100^2+300,~100^2+400 $$ olup toplamları $4\cdot 100^2+1000=41000$ olur. $41000=2^{3}\cdot 5^3\cdot 41$'dir. Bu sayının pozitif çift bölenleri sayısı aslında $2^2\cdot 5^3\cdot 41$'nin pozitif bölenleri sayısına eşittir. Bu sayının pozitif bölenleri sayısı $(2+1)(3+1)(1+1)=24$'dür.