2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[matematikolimpiyati]

$ABC$ eşkenar üçgeninde $[AC]$ kenarı üzerinde$E$ noktası ve $[BC]$ kenarı üzerinde $D$ noktası$,\ |AE|=|DC|$ olacak şekilde alınmıştır. $[AD]$ üzerinde$,\ [BF] \perp [AD]$ olacak şekilde de bir $F$ noktası alınıyor. $[BE]$ ile $[AD]$'nin kesiştiği nokta $N$ olmak üzere$,\ |NE|=a$ ve $|NF|=b$ ise $|AD|$'nin $a$ ve $b$ cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ a+b  \qquad\textbf{b)}\ a+2b  \qquad\textbf{c)}\ 2a+b  \qquad\textbf{d)}\ 2(a+b)  \qquad\textbf{e)}\ 2a+\dfrac{\sqrt3}{2}b$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$|AE| = |DC|$, $|AC| = |AB|$ ve $m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{BAE}) = 60^\circ $ olduğundan $ACD \cong BAE$ kenar-açı-kenar eşliği vardır. Dolayısıyla $|AD| = |BE|$ ve $m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{ABE}) $ olup $ m(\widehat{FNB}) = 60^\circ $ elde edilir. $NFB$ dik üçgeninde $|NB| = 2|NF| = 2b$ olduğundan $|BE| = a + 2b$ dir.