2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 23

[matematikolimpiyati]

$x=\dfrac{99!}{101}$  olmak üzere$,\ x-\left[x\right]$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir? $\big(\left[x\right]$ sayısı$,\ x$ sayısının tam değerini göstermektedir.$\big)$

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{101}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{2}{101}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{101}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{9}{101}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{11}{101}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$101$ bir asal sayı olduğundan Wilson teoreminden $100!\equiv -1\pmod{101}$'dir. Eğer $100!=99!\cdot 100$ yazarsak $$99!\cdot 100\equiv 99!\cdot (-1)\equiv -1\pmod{101}\implies 99!\equiv 1\pmod{101}$$ Yani $99!=101k+1$ olacak şekilde bir $k\in\mathbb{Z}$ vardır. Dolayısıyla $\lfloor x\rfloor=k$ olacaktır. Buradan, $$x-\lfloor x\rfloor=\frac{101k+1}{101}-k=\frac{1}{101}$$ bulunur.