2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

Aynı sınıftaki Alper, Berk, Cem ve Derya isimli öğrenciler bir test sınavına giriyorlar. Sınav sonunda, sınav sonuçlarına göre bu öğrenciler arasında kaç değişik sıralama yapılabilir?

(Örneğin, Alper ve Cem'in girdiği iki kişilik bir sınavda; Alper birinci, Cem ikinci; Cem birinci, Alper ikinci ve Alper ve Cem eşit olacak şekilde üç sıralama yapılabilir.)

$\textbf{a)}\ 80  \qquad\textbf{b)}\ 75  \qquad\textbf{c)}\ 72  \qquad\textbf{d)}\ 76  \qquad\textbf{e)}\ 81$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Bir $n$ sayısını azalmayan sıradaki bazı pozitif tamsayıların toplamı olarak yazmaya $n$'nin bir parçalanışı denir. Örneğin, $10$ sayısı, $1+1+2+3+3$ şeklinde yazılabilir. $4$'in parçalanışları $$4=1+3=2+2=1+1+2=1+1+1+1$$ olmak üzere beş tanedir. Bu durumlar aslında bize sıralamadaki aynı puandaki kişilerin durumlarını verir. Örneğin, $1+1+2$ durumunda $3$ farklı not alınmış, sadece iki kişi birbirleriyle aynı notu almıştır. $a_1+a_2+\cdots+a_k$ şeklindeki bir parçalanışta kişilerin seçilmesi ve $a_i$'lerin sırası da farklı sonuçlar vereceğinden, her parçalanış için önce bunları sıralayıp, sonra $4$ kişiyi bunlara dağıtmalıyız.

$4$ durumunda herkes aynı puanı almıştır. $1\cdot \dbinom{4}{4}=1$ durum vardır.
$1+3$ durumunda $2!$ şeklinde $1$ ve $3$ sıralanır. Sonra ise bu $1$ ve $3$ kişi seçilirse, $2!\cdot \dbinom{4}{1}\dbinom{3}{3}=8$ durum vardır.
$2+2$ için $\frac{2!}{2!}\cdot \dbinom{4}{2}\dbinom{2}{2}=6$ durum vardır.
$1+1+2$ için $\frac{3!}{2!}\cdot \dbinom{4}{1}\dbinom{3}{1}\cdot \dbinom{2}{2}=36$ durum vardır.
$1+1+1+1$ için $\frac{4!}{4!}\cdot \dbinom{4}{1}\dbinom{3}{1}\cdot \dbinom{2}{1}\dbinom{1}{1}=24$ durum vardır. Toplamda $24+36+6+8+1=75$ farklı sıralama olabilir.