Gönderen Konu: 2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11  (Okunma sayısı 1593 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.562
  • Karma: +4/-0
2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11
« : Ekim 19, 2022, 07:33:59 ös »
$ABC$ üçgeninin $[BC]\ , \ [AC]$  ve  $[AB]$  kenarları üzerinde$,$ sırasıyla $D\ ,\ E$  ve $F$ noktaları alınıyor. $|AC|=104\ ,\ |AB|=65\ , \ |BD|=35\ , \ m(\widehat{A})=60^{\circ}$  ve  $AD$ açıortay ise $DEF$ üçgeninin çevresinin minimum değeri nedir?

$\textbf{a)}\ 110  \qquad\textbf{b)}\ 120  \qquad\textbf{c)}\ 125  \qquad\textbf{d)}\ 115  \qquad\textbf{e)}\ 105$

Çevrimdışı diktendik

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 122
  • Karma: +0/-0
Ynt: 2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11
« Yanıtla #1 : Temmuz 07, 2024, 01:51:12 ös »
Yanıt : $\boxed{B}$

$D$'nin $AB$ ve $AC$'ye göre yansımaları sırasıyla $D'$ ve $D''$  olsun. $|DF|=|D'F|$ ve $|DE|=|D''E|$ olduğunu biliyoruz. $|D'F|+|D''E|+|EF|=\text{çevre}\geq |D'D''|$ olduğu açıktır. Dolayısıyla cevabın alabileceği en küçük değer $|D'D''|$ kadardır. Ve bu durum $D'D''\cap AB=F$ ve $D'D''\cap AC=F$ olduğunda sağlanır. İç açıortay teoreminden $|DC|=56$'dır. İç açıortay uzunluk teoreminden $$|AD|^2=104\cdot 65-56\cdot 35=13^2\cdot 40-7^2\cdot 40=40\cdot 120\Rightarrow|AD|=40\sqrt3$$ bulunur. $AD'D''$ $120-30-30$ ücgeninden $|D'D''|=120$ bulunur.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal