2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

Her $n$ pozitif tam sayısı için$,\ n^{33p}-n$  ifadesi $33p$'ye bölünecek şekilde kaç $p$ asal sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 0  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Sayıda}$

[Abdullah demircan]

Cevap: $\fbox A$

Fermat teoremine göre $n^{p}\equiv n\pmod{p}$ olduğundan $(p,n)=1$ olan her n sayısı için
$n^{32}\equiv 1\pmod{p}$ olmalıdır. Fermat teoreminden dolayı $p-1$ bu sayının bölenlerinden birine eşittir. $p=2,5,17$ olabilir. Ayrıca her $(33,n)=1$ için,
$n^{33p-1}\equiv 1\pmod{33}$ olduğundan $33p-1$ 10'un bir katı olmalıdır. Bu şartı olası p sayılarında sadece $17$ sağlar