2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

$P,\ ABC$ üçgeninin içinde bir noktadır. $m(\widehat{ABC})=90^{\circ},\ |AB|=2$  ve  $|BC|=3$  olduğuna göre$,$

                           $\sqrt2 |AP|+|BP|+|CP|$

toplamının minimum değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ \sqrt{31}  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{17}  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{23}  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{26}  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{29}$

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninin dışına, $[BC]$ kenarını hipotenüs olarak kabul eden $BDC$ ikizkenar dik üçgenini çizelim. $|BD| = |DC| = \dfrac{3}{\sqrt{2}}$ olur. $BPC$ üçgenini $C$ noktası etrafında $45^\circ$ döndürüp $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ oranında küçülterek $DEC$ üçgenini oluşturalım. Diğer bir deyişle, $BPC \sim DEC$ ve benzerliğin oranı $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ olacak şekilde çizim yapıyoruz. $|AP| = a$, $|BP| = b$, $|CP| = c$ dersek $|DE| = \dfrac{b}{\sqrt{2}}$, $|CE| = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$ olur. $\angle PCB = \angle ECD$ olduğundan $\angle PCE = 45^\circ$'dir. Dolayısıyla $PCE$ üçgeninde kosinüs teoreminden $|PE| = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$ olur. Yani $PEC$ ikizkenar dik üçgendir. Şimdi $|AP|+|PE|+|ED|=a+\dfrac{b}{\sqrt{2}}+\dfrac{c}{\sqrt{2}}$ olduğunu gözlemleyebiliriz. Bu ise minimum değerini bulmak istediğimiz $a\sqrt{2}+b+c$ toplamının $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ katıdır. Dolayısıyla $|AP|+|PE|+|ED|$ toplamının minimum değerini bulup $\sqrt{2}$ ile genişletmeliyiz. $|AP|+|PE|+|ED|$ yolunun en küçük değerini bulmak için, $A$ noktasını $D$ noktası ile birleştiren en kısa yol bulunmalıdır. Bu ise $|AD|$ uzunluğudur. Matematik diliyle, $|AP|+|PE|+|ED|\geq |AD|$'dir ve eşitlik hâli sadece $A$, $P$, $E$, $D$ noktaları doğrusal iken vardır. $\angle ABD = 135^\circ$ olduğundan $ABD$ üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa
\[|AD|^2 = 2^2 + \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 - 2\cdot 2\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot \cos 135^\circ\]
olup $|AD| = \sqrt{\dfrac{29}{2}}$ bulunur. Dolayısıyla $a\sqrt{2}+b+c\geq \sqrt{2}\cdot |AD|=\sqrt{29}$ elde edilir.

Notlar:

• Bu çözüme göre oluşturulan $P$ noktasının gerçekten $ABC$ üçgeninin içinde olduğunu da göstermeliyiz. Bunun için $C$ noktasından $[AD]$ doğru parçasına inilen dikmenin ayağı $E$ olarak işaretlenir. Sonra $P\in [AE]$ ve $|PE| = |CE|$ olacak şekilde $P$ noktası seçilir. $P$ noktası gerçekten $ABC$ üçgeninin içinde kalır.
• 2011 - 16. Antalya Matematik Olimpiyatları Soruları bağlantısında sunduğum çözümün yeniden yazımıdır.

[geo]

Bir diğer konfigürasyon da $AC$ üzerine üçgen kurarak elde edilebilir.

$E$, $AC$ ye göre $B$ ile ters tarafta bir nokta olmak üzere;
$AE=AC$ ve $EA \perp  AC$ şartlarını sağlayan bir nokta olsun.
$AEC$ ikizkenar dik üçgeninin içerisinde $\triangle AP'E \cong \triangle APC$ olacak şekilde $P'$ noktası aldığımızda, $\angle EAP' = \angle CAP$ olduğu için $\angle P'A P = \angle EAC = 90^\circ$ ve $PP' = \sqrt 2 \cdot AP$ olacaktır.
Bu durumda, $d = BP+PP'+P'E = BP + \sqrt 2 \cdot AP + CP$ en küçük değerini $B, P, P', E$ doğrusal iken alır.

$\triangle ABC \cong \triangle EDA$ olduğu için, $ED=BC=2$ ve $AD=BC=3$. Bu durumda, $BE = \sqrt {5^2 + 2^2} = \sqrt {29}$ olur.
 

[geo]

Bu soru için, en basit konfigürasyonu $AB$ üzerine $45^\circ - 45^\circ - 90^\circ$ kurduğumuzda elde ediyoruz.

$E$ ile $C$, $AB$ nin farklı taraflarında olmak üzere; $EA \perp BA$ ve $EA = BA$ olacak şekilde alınan $E$ noktası için aradığımız yanıt $CE=\sqrt {2^2 + 5^2} = \sqrt {29}$ oluyor.



Lokman Hoca'nın verdiği linkte bu sorunun literatürde Weighted Fermat Point olarak geçtiğini söylemiştik.

Daha fazla okuma için Weber Problem kaynağına başvurabilirsiniz.