Üst Üste Üsler :) {Çözüldü}

[Ancestor]

Güzel bi soru

[Ancestor]

bu da güzel

[Mathopia]

Memedim matematiğe sardın iyice

ilk sorunun cvbı kök2

ikinci sorunun cvbı da: 1/3 ve 1

[alpercay]

Muradım bir de çözümlerini rica etsek.İki soru da olimpiyat sorusuydu sanırım.İlkini Tübitak'ın bir kitabında gördüm,ikincisini ilköğretim olimpiyatta Tübitak  kullandı yanılmıyorsam.İşin ilginci  ikinci soruyu onlar da  sanırım  yabancı bir dergiden almışlar.Olimpiyatçı öğrencilerimizin "Yabancı dergilerden soruları" takip etmeleri yararlı olacaktır.

[Mathopia]

SORU-1  

x^xxx...=2 ifadesinde tabandaki x dışındaki x^xxx... ifadesine a diyelim. İfademiz x^a= 2 şeklini alacaktır. Şu durumda ha n tane x ha n-1 tane x mantığıyla iki eşitlik düşünüldüğünde a=2 olduğu görülmektedir. Dolayısıyla x²=2 yani x=2^1/2olur.

SORU-2   (xkökx)^xkökx=(x^3/2)^x3/2 dir. Üssün üssü alınarak ifadenin (x)^3/2.x3/2 ifadesine eşitliği görülür.

(kökx)^kökx=(x^1/2)^x1/2 dir. Üssün üssü alınarak ifadenin (x)^1/2.x1/2 olduğu görülür.

(x)^3/2.x3/2=(x)^1/2.x1/2 tabaları eşit olan bu iki ifadenin eşit olması için üslerininde eşit olması gerekir

bilgisini kullanarak, 3/2.x^3/2=1/2.x^1/2 eşitliğine ulaşırız. Çözüm yapıldığında x = 1 ve x = 1/3 sonuçlarına ulaşılır.

[edizalturk]

.

[senior]

neden olmasın? x^xxxx... = a denkleminde x gayet a^1/a olabilir

[edizalturk]

x= kök2  olduğunda o zaman iki farklı limit sözkonusu olur. (a=2 ve a=4 durumları) Oysa x=kök2 olduğu durumu drive ile kontrol ettim 2 yi aşamıyor. 4 e nasıl ulaşacak ki? Bence, henüz ispatlayamadım ancak, a>2 olduğunda bu limit yoktur.   

[Lokman Gökçe]

bu problem bir limit sorusu olarak analiz ve cebirde ilginç olimpiyat problemleri isimli kitapta sorulmuş.birkaç gün önce kitabı karıştırırken farkettim. Murat hocamın çözümüne benzer bir çözüm verilmiş.

[edizalturk]

O kitaba ben de baktım. Ancak limitin varlığını bilerek çözmüş. Oysa eşitlik 2 den büyük olduğunda limit olmuyor.

[senior]

x büyüdükçe x^xxxx... ifadesini değerinin büyümesi lazım. x = küpkök(3) ( küpkök(3) > kök(2) ))verdiğimizde çıkan sonuç 2'den büyük olmalı yani, acaba bu değer için limit 3 oluyor mu, kontrol ederseniz sevinirim. Bir de limiti hesapladığınız programın tam adını alabilirsem çok güzel olur

[senior]

Sanırım sonuca ulaştım . Bir önceki mesajımda 

x büyüdükçe x^xxxx... ifadesini değerinin büyümesi lazım

demiştim(tabi x abuk bir şey değil de şu an konuştuğumuz sayılara yakın olacak). Burdan yola çıkarak:
x^xxxx... = a       ==>     x^a = a    ==>    ln(x) = ln(a) / a 'dır.
ln(a) / a 'nın alabileceği maksimum değeri bulmak için ifadenin türevini alıp 0'a eşitledim:
d(ln(a)/a)/da = (1-ln(a))/a² = 0    ==>  ln(a) = 1 ve a = e;
a = e sabiti için ln(a)/a = 1/e olur, yani ln(x) = 1/e, o da x = e^1/e (maksimum değeri).
(Yardımcı olması için ln(x)/x 'in grafiğini ekledim)
Yani a > e için ln(a)/a değeri bu fonksiyionun maksimum değeri olan 1/e' den küçük oluyor. Bu da mesajın başında bahsettiğim " x büyüdükçe ... " ifadesiyle ters, Ayrıca a > e için ln(a)/a 'ya karşılık gelen başka bir a < e sayısı vardır(grafikte olduğu gibi).
Mesela benim bir önceki mesajda yazdığım x = küpkök(3) için a = 3 ve a = 2.47805268028830... sayıları aynı sonucu veriyor ama bunlardan sadece küçük olanı istediğimiz cevaptır.
Sonuç olarak ediz arkadaşımızın istediği cevap şudur:  a > e için ifadeyi sağlayan x bulunamaz