Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1996 Soru 11

[matematikolimpiyati]

$\left( 1-\dfrac{1}{2^2} \right) \left( 1-\dfrac{1}{3^2} \right) \left( 1-\dfrac{1}{4^2} \right) \cdots \left( 1-\dfrac{1}{1996^2} \right)$ çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1997}{1996}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3 \cdot 1997}{4 \cdot 1996}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2 \cdot 1995}{3 \cdot 1996}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1997}{2 \cdot 1996}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1996}{2 \cdot 1995}$

[ygzgndgn]

Cevap: D

Her terimde kareler farkı özdeşliği uygulanırsa iki farklı çarpım elde edilir: (1-1/2)(1-1/3)...(1-1/1996)*(1+1/2)(1+1/3)...(1+1/1996). Bu çarpımlar açılırsa (1/2*2/3*3/4*...*1995/1996)(3/2*4/3*5/4*...*1997/1996) çarpımı elde edilir. Sadeleştirmeler yapılırsa 1997/2*1996 sonucu bulunur.