Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1996 Soru 05

[matematikolimpiyati]

$16$ kişilik bir grup içinden rastgele seçilen $6$ kişi, $6$ sandalyeden oluşan bir sıraya rastgele oturtuluyor. Ahmet ve Betül bu $16$ kişiden ikisi ise yan yana oturtulmuş olmaları olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{24}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{12}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{10}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac16  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Ahmet ve Betül'ün bulunduğu $6$ kişilik grupların sayısı $\dbinom{16}{4}$ olur. Ahmet ve Betül'ün yan yana olduğu sıralamaların sayısını bulmak için bu değeri $5!\cdot 2!$ ile çarparız. Ayrıca, herhangi $6$ kişinin seçilip sıralandığı tüm sıralanışların sayısı da $\dbinom{16}{6}\cdot 6!$ dir. Böylece, istenen olasılık
$$ \dfrac{\dbinom{16}{4}\cdot 5!\cdot 2!}{\dbinom{16}{6}\cdot 6!} = \dfrac{5}{66} $$
olarak bulunur.