Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1997 Soru 20

[matematikolimpiyati]

$\{1,2,3,...,10\}$ kümesinin tüm alt kümeler kümesinde $A_1 \cap A_2$ boş küme olacak şekilde kaç tane $(A_1,A_2)$ sıralı alt küme ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 2^{10}  \qquad\textbf{b)}\ 3^{10}  \qquad\textbf{c)}\ 4^{10}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{10!}{2!}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{10!}{3! \cdot 7!}$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$A_3 = \{1,2,3,...,10\} - A_1 \cup A_2$ olsun. Bu durumda $A_1, A_2, A_3$ kümeleri ayrık ve $A_1 \cup A_2 \cup A_3 = \{1,2,3,...,10\}$ olacaktır.
$a \in \{1,2,3,...,10\}$ sayısını ele alalım. Bu sayı ya $A_1$ de ya $A_2$ de ya da $A_3$ te yer alacaktır. Her $a$ sayısı için $3$ durum söz konusu olduğu için toplamda $3^{10}$ farklı şekilde $A_1, A_2, A_3$ kümeleri oluşturulabilir. $A_1$ ve $A_2$ kümeleri verildiğinde tek bir şekilde $A_3$ elde edilebildiği için $(A_1, A_2)$ ikililerinin sayısı da $3^{10}$ dur.