Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2000 Soru 20

[matematikolimpiyati]

$3^m-1=n^3$ denklemini sağlayan kaç $(m,n)$ pozitif tam sayı sıralı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{3 ten çok}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Denklemi $$3^m=n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)$$ olarak düzenlersek, hem $n+1$'in hem de $n^2-n+1$'in $3$'ün kuvveti olması gerektiğini görürüz. Eğer ikisinden biri $1$ ise çözüm gelmeyeceğini görebiliriz. Eğer ikisi de $9$'a bölünüyorsa $$n\equiv -1\pmod{9}\implies n^2-n+1\equiv (-1)^2-(-1)+1\equiv 3\pmod{9}$$ çelişkisi elde edilir. Yani bu iki çarpandan birisi $3$ olmalıdır.

$i)$ $n+1=3$ ise $n=2$ ve $m=2$ elde edilir.

$ii)$ $n^2-n+1=3$ ise $n^2-n-2=(n-2)(n+1)=0$ ve yine $(m,n)=(2,2)$ çözümü elde edilir. Dolayısıyla sadece $(2,2)$ çözümü vardır.