Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2000 Soru 16

[matematikolimpiyati]

Çap uzunluğu $6$ olan $[AB]$ çaplı yarım çemberin $[AD]$ ve $[DC]$ kirişlerinin her birinin uzunluğu $2$ ise $[BC]$ kirişinin uzunluğu nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{14}{3}  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac72  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt3$

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

$AD$ ile $BC$ doğruları $E$ de kesişsin.
Çapı gördüğü için $\angle BDA = 90^\circ$.
Eş kirişleri gören çevre açılar eşit olacağı için $\angle ABD = \angle CBD$.
Bu durumda $AB = BE = 6$ ve $ED=DA = 2$ olacaktır.
$E$ noktasının çembere göre kuvvetinden $ED \cdot EA = EC \cdot EB \Rightarrow 2\cdot 4 = EC \cdot 6 \Rightarrow EC = \dfrac 43$.
$CB = EB - EC = 6 - \dfrac 43 = \dfrac {14}3$.

[geo]

Çemberin merkezi $O$ olsun. $AOCD$ bir deltoittir.  $$\text{Alan}(AOCD) = \text{Alan}(AOD) + \text{Alan}(DOC) = 2\cdot \text{Alan}(AOD)$$
Heron formülünden $\text{Alan}(AOD) = \sqrt{4\cdot 1 \cdot 1 \cdot 2} = 2\sqrt 2$.
Deltoidin dik kesişen köşegenlerinden $$\text{Alan}(AOCD) = \dfrac 12 \cdot AC \cdot DO = \dfrac 32 \cdot AC = 4\sqrt 2 \Rightarrow AC =\dfrac {8\sqrt 2}{3}$$ Çapı gören çevre açıdan $\angle ACB = 90^\circ$ ve Pisagor'dan $CB^2 = AB^2 - AC^2 = 6^2 - \left ( \dfrac {8\sqrt 2}{3} \right )^2 = \dfrac {196}{9} \Rightarrow CB = \dfrac {14}3$.

[geo]

$CB=x$ diyelim.
Çapı gören çevre açılardan, $BD^2 = AB^2 - AD^2 = 6^2 - 2^2 = 32$, $AC^2 = AB^2 - CB^2 = 36-x^2$.
$ABCD$ kirişler dörtgeninde Ptolemy uygularsak $BD \cdot AC = AB \cdot CD + AD \cdot BC$.
$$32(36-x^2) = (2x + 12)^2 \Rightarrow 8(36-x^2) = (x+6)^2 \Rightarrow 9x^2 + 12x - 7\cdot 36 = (9x - 7\cdot 6)(x+6) \Rightarrow x = \dfrac{42}9 = \dfrac {14}3$$

[geo]

$BCD$ yayı üzerinde $AD = BE = 2$ olacak şekilde bir $E$ noktası alalım.
$DCEB$ bir ikizkenar yamuktur. Dolayısıyla $BC= DE = x$ tir.
Benzer şekilde $ADEB$ de bir ikizkenar yamuktur.
$ADEB$ ikizkenar yamuğunda Pisagor'dan köşegenler, $\sqrt {6^2 - 2^2} = \sqrt {32}$ çıkar.
Ptolemy'den $\sqrt {32} \cdot \sqrt {32} = 6x + 4 \Rightarrow 6x = 28 \Rightarrow x = \dfrac {14}{3}$.

Ptolemy yerine Öklit'ten de sonuca gidebiliriz.
$D$ ve $E$ den çapa inilen yüksekliklerin ayakları sırasıyla $F$ ve $H$ olsun. $AF \cdot AB = AD^2 = BE^2 = BH \cdot AB \Rightarrow AF = BH = \dfrac 23$ ve $BC=ED = AB - AF - BH = 6 - \dfrac 43 = \dfrac {14}{3}$ elde ederiz.

[geo]

$\angle ABD = \angle DBC = \alpha$.
$\angle ADB = 90^\circ$.
$\triangle ABD$ de, $\sin \alpha = \dfrac 26 = \dfrac 13$.

$\triangle ACB$ de, $\cos 2\alpha = \dfrac {CB}{6} = 1 - 2\sin^2 \alpha = 1 - \dfrac 29 = \dfrac 79 \Rightarrow CB = \dfrac {14}{3}$.

[geo]

$\angle BAD = \alpha$ dersek $\angle BCD = 180^\circ - \alpha$ olur.
Pisagor'dan $BD^2 = AB^2 - AD^2 = 32$.
$\triangle BCD$ de Kosinüs Teoreminden $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2\cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle BCD$.
$$32 = 2^2 + x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x \cdot \cos (180^\circ - \alpha) = x^2 + 4 + 4x \cdot \cos \alpha = x^2 + \dfrac 43 \cdot x + 4$$ $$3x^2 + 4x - 28\cdot 3 = (3x - 14)(x+6) \Rightarrow x = \dfrac {14}{3}$$