Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2000 Soru 12

[matematikolimpiyati]

$x_1$ ve $x_2$ sayıları $ax^2+bx+c=0$ denkleminin kökleri$;\ \dfrac{x_1}{x_2}$ ve $\dfrac{x_2}{x_1}$ sayıları da $Ax^2+Bx+1=0$ denkleminin kökleri ise $B$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{b^2}{ac}-2  \qquad\textbf{b)}\ 2-\dfrac{b^2}{c}  \qquad\textbf{c)}\ 2-\dfrac{b^2}{ac}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{b^2}{c}-2  \qquad\textbf{e)}\ 2-\dfrac{ab^2}{c}$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

$Ax^2 + Bx + 1 = 0$ için Vieta Formüllerini kullanalım.
Kökler çarpımı, $ \dfrac {1}{A}= \dfrac{x_1}{x_2} \cdot \dfrac{x_2}{x_1} = 1 \Rightarrow A = 1$.
Kökler toplamı, $\dfrac{-B}{A} = \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \dfrac {(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = -B \Rightarrow B = \dfrac {2x_1x_2-(x_1+x_2)^2}{x_1x_2} = 2 - \dfrac {(x_1 + x_2)^2}{x_1x_2}$.

$ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin kökler toplamı $x_1 + x_2 = \dfrac {-b}{a}$, kökler çarpımı $x_1x_2 = \dfrac {c}{a}$ bilgilerini yerine yazarsak $$B= 2 - \dfrac {\left( \dfrac {-b}{a} \right)^2}{\dfrac ca} = 2 - \dfrac {b^2}{ac}$$

[geo]

Değer vererek çözüme gidelim. $a=1$ dersek şıklarda eş sonuçlar oluşacak. O halde $a \neq 1$ vermeye çalışalım.
$ax^2 + bx + c = (2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$ olsun. Kökler $x_{1,2} = \dfrac 12$ olacaktır.
Bu durumda $\dfrac {x_1}{x_2}=\dfrac {x_2}{x_1} = 1$ ve $Ax^2 + Bx + 1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ olacaktır.

$a=4$, $b=-4$, $c=1$ iken $B=-2$ çıkmalı.
Bu durumu şıklardan sadece $\boxed C$ sağlar.

[geo]

Vieta Formüllerini bilmeyenler için bir çözüm yapalım. (Aslında ilk çözümün benzeri olacak.)

Kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan denklem. $ ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)= ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0$ olmalı. Buradan $b = -a(x_1 + x_2)$, $c = ax_1x_2$ elde edilir.

Kökleri $\dfrac {x_1}{x_2}$ ve $\dfrac {x_2}{x_1}$ olan denklem de $Ax^2 + Bx + 1 = A\left ( x -\dfrac {x_1}{x_2} \right ) \left ( x - \dfrac {x_2}{x_1} \right ) = Ax^2 - A\left ( \dfrac {x_1}{x_2} + \dfrac {x_2}{x_1}  \right )  + A=  0$ olmalı. Buradan $A=1$ ve $B = -\left ( \dfrac {x_1}{x_2} + \dfrac {x_2}{x_1}  \right ) = -\dfrac {x_1^2 +x_2^2}{x_1x_2}$ elde edilir.

$b^2 = a^2(x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2) = a^2(x_1^2 + x_2^2 + \dfrac {2c}a) \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = \dfrac {b^2}{a^2} - \dfrac {2c}a$.
$$B = -\dfrac {\dfrac {b^2}{a^2} - \dfrac {2c}a}{\dfrac ca} = 2 - \dfrac {b^2}{ac}$$