Cevap: $\boxed{A}$
Gösterim kolaylığı için $(3a,4b,5c,7d)=(x,y,z,t)$ diyelim ve denklem $3^x+3^y+3^z=3^t$ haline gelsin. Eğer $x,y,z$'nin hepsi birbirine eşit değilse $\min\{x,y,z\}=a$ diyelim. Denklem $$3^t=3^{a}(3^{x-a}+3^{y-a}+3^{z-a})$$ olur ve sağ taraftaki parantezin içindeki $3$'ün kuvvetlerinden tam olarak bir tanesi veya iki tanesi $3^0$, diğerleri $3$'ün $0$'dan farklı bir kuvveti olur. Yani bu parantez içindeki sayıların toplamı $3$'e bölünmez ve $1$'den kesin büyüktür. Bu da bir çelişkidir çünkü $3^t$'yi elde edemeyiz. Yani $x=y=z$ olmalıdır. Bu durumda yerine yazarsak $t=x+1$ olur. Sonuç olarak $$3a=4b=5c=7d-1$$ buluruz. $3a=K$ dersek, $K$ sayısı $3$, $4$ ve $5$'in katı olduğundan $K=60L$ diyebiliriz. $60L=7d-1$ olduğundan $$60L\equiv 4L\equiv 6\pmod{7}\implies L\equiv 5\pmod{7}$$ olur. $a+b+c+d$ toplamının minimum olması için $a,b,c,d$'nin minimum olması yani $L$'nin minimum olması gerekir. $L=5$ için $$60L=300=3a=4b=5c=7d-1\implies (a,b,c,d)=(100,75,60,43)$$ ve $\min(a+b+c+d)=100+75+60+43=\boxed{278}$ elde edilir.
