Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1998 Soru 21

[matematikolimpiyati]

Ahmet ile Betül$,$ içlerinden birinin seçtiği bir $n$ tam sayısı için$,\ an^4+bn^3+cn^2+dn$ ifadesindeki $a,b,c,d$  katsayılarını sırayla seçtikleri bir oyun oynarlar. Sırası gelen$,$ daha önce seçilmemiş katsayılardan birini seçerek yerine $1$ ya da $-1$ koyar. Oyunu$,$ bütün katsayılar seçildikten sonra elde edilen sayı $6$ ile bölünüyorsa Betül$;$ aksi durumda ise Ahmet kazanır. Aşağıdakilerden hangisi doğru değildir?

$\textbf{a)}$ $n$ yi Ahmet seçer ve katsayı seçmeye de Ahmet başlarsa Betül oyunu kazanmayı garanti edebilir.
$\textbf{b)}$ $n$ yi Ahmet seçer$,$ katsayı seçmeye ise Betül başlarsa Ahmet oyunu kazanmayı garanti edebilir.
$\textbf{c)}$ $n$ yi Betül seçer ve katsayı seçmeye de Betül başlarsa Betül oyunu kazanmayı garanti edebilir.
$\textbf{d)}$ $n$ yi Betül seçer$,$ katsayı seçmeye ise Ahmet başlarsa Betül oyunu kazanmayı garanti edebilir.
$\textbf{e)}$ Hiçbiri

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

Betül $n=0$ seçerse ifade her zaman $0$ olacak. Bu durumda ifade her zaman $6$ ile bölünecek. O halde $(C)$ veya $(D)$ şıkları doğrudur.

$(B)$ şıkkına bakalım:
Ahmet $n=1$ seçerse son hamlede Ahmet, sıra kendisinde olduğu için, ifadeyi $1$ azaltır ya da $1$ artırır. Son hamlede elde edilebilecek iki sayıdan sadece biri $6$ ile bölünür. Ahmet son katsayıyı, ifade $6$ ile bölünmeyecek şekilde seçebilir.

$(A)$ şıkkına bakalım:
$n$ tek olursa $4$ tek sayının toplamı çift; $n$ çift olursa yine $4$ çift sayının toplamı çift olacaktır. O halde ifadeyi $\bmod 3$ te incelemek yeterli olacaktır.
$n^3\equiv n \pmod 3$ olduğu için $n^4\equiv n^2\pmod 3$ tür.
Ahmet $n$ yi ne seçerse seçsin, $(a,c)$ ikilisi (1,-1) ya da (-1,1) olarak seçilirse; benzer şekilde $(b,d)$ ikilisi (1,-1) ya da (-1,1) olarak seçilirse oluşan ifade $3$ ile bölünecektir. Bu durumda Betül kazanacaktır. Biraz daha açarsak; Ahmet $a$ yı seçerse Betül $c$ yi $-a$ olarak, Ahmet $d$ yi seçerse Betül $b$ yi $-d$ olarak seçerse ifadenin $\bmod 3$ te her zaman $\equiv 0$ olmasını sağlayabilir.

Şıkların hepsi doğru olduğu için yanıt, şıklardan hiçbiri, yani $(E)$ dir.