Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1998 Soru 19

[matematikolimpiyati]

$[AB]$ çaplı $O$ merkezli bir çemberin $[OB]$ yarıçapının orta noktası $C,\ C$ noktasından geçen bir kiriş $[DE],\ s(\widehat{BCD})=45^{\circ}$ ve bu çemberin alanı $8\pi$ ise $|DE|$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4\sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt7  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{30}$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{D}$

Çemberin yarıçapı $r$ olsun. $\pi r^2=8 \pi \implies r^2=8 \implies r=2\sqrt2$ bulunur. $C$, $[OB]$ yarıçapının orta noktası olduğundan $|OC|=|CB|=\sqrt2$'dir. $O$'dan $DE$'ye inilen dikme ayağı $F$ olsun. $OFC$ ikizkenar dik üçgendir ve $|OF|=|FC|=1$ olur. $OD$ yarıçapını çizelim ve $ODF$ dik üçgeninde pisagor teoremini uygularsak
$$|OD|^2=|OF|^2+|FD|^2 \implies (2\sqrt2)^2 = 1^2 + |FD|^2 \implies |FD|=\sqrt7$$
ve buradan da $|DE|=2 \cdot |DF| =2\sqrt7$ elde ederiz.