Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1998 Soru 18

[matematikolimpiyati]

$21$ sorudan oluşan bir sınavda her doğru yanıta $4,$  her yanlış yanıta $-1$ ve yanıtsız bırakılan her soruya da $0$ puan verilmektedir. Sınava giren tüm öğrencilerin toplam puanları birbirinden farklı ise sınava en çok kaç öğrenci girmiş olabilir?

$\textbf{a)}\ 79  \qquad\textbf{b)}\ 85  \qquad\textbf{c)}\ 100  \qquad\textbf{d)}\ 103  \qquad\textbf{e)}\ 106$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

Herkesin puanı birbirinden farklı olduğu için soru bizden kaç farklı puan alınabileceğini bulmamızı istiyor.
Alınabilecek puanlar için bir tablo yapmaya başlayalım:
$$\begin{array}{c|c|c|c|c}
D/Y & 0 & 1& 2 & 3 & 4 \\
\hline
21 & 84 \\
20 & 80 & 79 \\
19 & 76 & 75 & 74 \\
18 & 72 & 71 & 70 & 69\\
17 & 68 & 67 & 66 & 65 & 64
\end{array}$$
$18$ doğru için en fazla $72$ puan alınabilir. Sırasıyla $1$, $2$, $3$ yanlış yapıldığında puanlar $71$, $70$, $69$ olur.
$17$ doğru için en fazla $68$ puan alınabilir. Yanlış sayısı $\geq 4$ olduğu için $17$ doğru, $0$ yanlış ile $16$ doğru $0$ yanlış arasındaki her puan alınabilir.
Bu böyle devam eder.
$0$ doğru; $1$, $2$, $\dots$, $21$ yanlış için $-1$, $-2$, $\dots$, $-21$ puanlarının hepsi alınabilir.
Bu durumda $-21$ ile $84$ aralığındaki $84+21+1=106$ sayıdan alınamayacak olanları $(83,82,81,78,77,73)$ çıkarırsak $106-6=100$ farklı puanın alınabileceğini buluruz.