Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1998 Soru 17

[matematikolimpiyati]

                                                   $\begin{array}{rcr}  x + y +z & = & 19 \\ xy + z & = & 98 &  \end{array}$

denklem sistemini sağlayan kaç $(x,y,z)$ sıralı tam sayı üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 20$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

$x + y = 19-z = w$ ve $xy = 98 - z = 19-z + 79 = w + 79$.

$xy = x+y + 79 \Longrightarrow xy - x - y + 1 = 80 \Longrightarrow x(y-1) - (y-1) = (x-1)(y-1)=80 = 2^4\cdot 5$

$80$ sayısının tam bölenlerinin sayısı $d(80) = 2(4+1)(1+1) = 20$ olduğu için $20$ adet $(x,y,x+y)=(x,y,w)$ üçlüsü vardır. Doğal olarak $20$ adet $(x,y,19-w)=(x,y,z)$ üçlüsü olacaktır.

Not: Tübitak'ın sitesinde yer alan kitapçıkta cevap $D$, yani $10$ olarak verilmiş.