Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1998 Soru 12

[matematikolimpiyati]

Bir okulda öğrencilere $1$ den başlayarak sırayla numara verilmiştir. Bu okuldan $150$ kız öğrenci ayrılınca$,$ kalanlar arasında kız öğrencilerin erkek öğrencilere oranı $1 : 2$ haline gelir. Bu sefer de $450$ erkek öğrenci ayrılınca$,$ kalan öğrenciler arasında erkek öğrenci-kız öğrenci oranı $1 : 5$ olur. Okulun başlangıçtaki öğrencileri arasında numarası ne $3$ ne de $5$ ile bölünen kaç öğrenci vardır?

$\textbf{a)}\ 450  \qquad\textbf{b)}\ 480  \qquad\textbf{c)}\ 540  \qquad\textbf{d)}\ 840  \qquad\textbf{e)}\ 900$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

Kız öğrencilerin sayısı $x$, erkek öğrencilerin sayısı $y$ olsun.

Verilen oranları yazalım:

$\dfrac {x-150}{y}=\dfrac 12$,

$\dfrac {y-450}{x-150}=\dfrac 15$

İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözüp $x$ ve $y$ yi bulabiliriz.
Taraf tarafa çarpınca $x$ lerden kurtulup sadece $y$ ye bağlı denklem elde ederiz.
Buradan da gitmeyip, buna benzer bir yöntemle devam edelim.
$2(x-150)=y$,
$5(y-450)=x-150$,
$2(5(y-450))=y$
$10y-4500=y$
$9y=4500$
$y=500$, $x=400$, $x+y=900$.

$1,2, \ldots, 900$ sayılarının kümesi $E$ olsun.
Bu sayılardan $3$ ile bölünenler $A$ kümesini, $5$ ile bölünenler de $B$ kümesini oluştursun.
$s(E/(A\cup B))$ yı arıyoruz.
$s(E/(A\cup B))= s(E)-(s(A)+s(B)-s(A\cap B))$
$s(E)=900$, $s(A)=\dfrac{900}3=300$, $s(B)=\dfrac {900}5=180$, $s(A\cap B)=\dfrac{900}{15}=60$.

$s(E/(A\cup B))=900-(300+180-60)=480$.