Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1998 Soru 08

[matematikolimpiyati]

$72000$ sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi $8$ ile bölünüp $9$ ile bölünemez?

$\textbf{a)}\ 24  \qquad\textbf{b)}\ 32  \qquad\textbf{c)}\ 36  \qquad\textbf{d)}\ 48  \qquad\textbf{e)}\ 84$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$72000 = 8 \cdot 9 \cdot 1000 = 2^6\cdot 3^2 \cdot 5^3$

$8$ ile bölünen pozitif bölenlerin sayısı, $72000 = 8\cdot A = 8 \cdot (2^3\cdot 3^2\cdot 5^3)$ denkleminde $A$ sayısının pozitif bölenleri sayısına eşittir. $d(A) = (3+1)(2+1)(3+1)=48$

$8$ ve $9$ ile bölünen pozitif bölenlerin sayısı, $72000 = 72 \cdot B = 72\cdot (2^3\cdot 5^3)$ = denkleminde $B$ sayısının pozitif bölenleri sayısına eşittir. $d(B) = (3+1)(3+1)=16$.

$8$ ile bölünüp $9$ ile bölünmeyen pozitif bölenlerin sayısı $d(A)-d(B) = 48-16 = 32$ olacaktır.

[geo]

$72000 = 8 \cdot (2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^3) = 8 \cdot 3 \cdot (2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^3) = 24 \cdot X$ denkleminde $X = 2^3\cdot 3 \cdot 5^3$ sayısının pozitif bölenlerinden hiçbiri $9$ ile bölünmez. $X$ sayısının $d(X) = (3+1)(1+1)(3+1) = 32$ pozitif böleni vardır. Bu bölenlerin her birinin $8$ katı $72000$ sayısının $8$ ile bölünüp $9$ ile bölünmeyen pozitif bölenleridir.