$14)$ $\phi(mn)$ fonksiyonu $1\leq k\leq mn$ ve $(mn,k)=1$ olan $k$ pozitif tamsayılarının sayısını verir. $m\mid n$ olduğundan $(mn,k)=1\iff (n,k)=1$ olmalıdır. $n=1$ için eşitlik sağlanır. $n>1$ için de $k\neq n$ olması gerektiğinden, eğer $[1,mn]$ aralığını $$[1,n], (n,2n], (2n,3n],\dots, ((m-1)n,mn]$$ olarak ayırırsak, her aralıktaki $n$ ile aralarında asal sayıların sayısı eşit olacaktır çünkü $(n,k)=(n,n+k)=(n,k-n)$'dir. Bu yüzden her aralıkta $\frac{\phi(mn)}{m}$ tane $n$ ile aralarında asal sayı vardır. Dolayısıyla $$\phi(n)=\frac{\phi(mn)}{m}\implies \phi(mn)=m\phi(n)$$ bulunur.
Aksi örneği direkt olarak vermek yerine nasıl bulunabileceğini göstereyim. Eğer $(m,n)=d$ için $$\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)\frac{d}{\phi(d)}$$ eşitliğini kullanırsak, $\phi(mn)=m\phi(n)$ eşitliğinin sağlanması için $$m=\frac{d\phi(m)}{\phi(d)}$$ olacak şekilde bir $d\mid m$ ve $m\neq d$ ikilisi bulmalıyız. $d=6$ seçersek, $m=3\phi(m)$ bulunur. Bunun çözümlerinin $m=2^a\cdot 3^b$ formatında olduğunu göstermiştik. Yani $m=12$ seçebiliriz. Bu durumda $n=18$ seçersek, $12\not\mid 18$ fakat $\phi(12\cdot 18)=12\cdot \phi(18)$ elde edilir. Önermenin tersi doğru değildir.
