$n(n+1)(n+2)=m(m+1)$ Diophantine Denklemi {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem [Louis Joel Mordell]: $n(n+1)(n+2)=m(m+1) $ denklemini sağlayan tüm $(n,m)$ tam sayı ikililerini bulunuz.



Notlar:

• Bu denklemin pozitif tam sayılardaki çözümlerine, Dans Pistindeki Erkeklerin Sayısı başlıklı olasılık sorusunu kurgularken ihtiyacım olmuştu. Fazla ipucu vermeden, $(n,m)=(5,14)$ çözümünü kullanarak olasılık sorusunu oluşturduğumu söyleyebilirim. Denklemin tüm tam sayı çözümlerinin bulunmasını burada ayrı bir soru olarak sunalım.
  
• Problemi, çok daha önceki bir dönemde Louis Joel Mordell ele alıp çözmüş.

[AtakanCİCEK]

Bu tam  bir çözüm değil ama çözüme gidiş için rahatlatıcı olacağını düşündüğümden eklemek istedim.

$$n.(n+2).(n+1)=[(n+1)^2-1](n+1)=m.(m+1)$$ $n+1=a$ ve $x=2m+1$ dönüşümlerini yaparsak,

$$4a^3-4a+1=x^2$$ denklemini elde ederiz. Bu denklemlerinde literatürde eliptic curveler yardımıyla ispatları olduğunu hatırlıyorum. Bir de yakın zamanda

$(2x^2+5)^2=20y^2+29$ denklemini çözmeye çalışırken $y^2=Ax^4+bx^2+C$ formatı denklemlerin diskriminant negatif durumlarının yardımıyla kübik eğrilere çözüm yapılabileceğiyle ilgili bir yazı görmüştüm. Tekrar bulabilirsem ekleyeyim buraya çözüm için faydalı olabilir.

https://www.numdam.org/item/RSMUP_2008__119__1_0.pdf?utm_source=chatgpt.com

Not:$2016$ Azebeycan JBMO TST sınavında bu soruyu asal sayılar üzerinden kısıtlanmış halini sormuşlar.

[matematikolimpiyati]

Denklemin tüm çözümleri $(0,0),(0,-1),(-1,0),(-1,-1),(-2,0),(-2,-1),(1,2),(1,-3),(5,14),(5,-15)$ ikilileridir. Bunların dışında başka çözüm olmadığını Louis J. Mordell ispatlamıştır. Mordell'in ispatı ektedir.

[Lokman Gökçe]

Teşekkürler. Bu güzel problemin mucidi olduğumu sanıyordum ama Louis Joel Mordell gibi büyük bir matematikçinin problemi ortaya atıp çözmüş olduğunu görüyoruz. Referansımı düzeltiyorum. Aynı problemi düşünmüş olduğum için mutlu oldum. Mordell'in eliptik türdeki eğriler üzerindeki tam sayı ve rasyonel sayı koordinatlı noktalar ile ilgili çalıştığını biliyordum. Bu konuda yazdığı Diophantine denklemi çözümleri ile ilgilenen bir kitabı da vardı. Bir noktadan sonra içerik lisans üstü olduğu için fazla üstüne düşmemiştim.