Cevap: $\boxed B$
Genelliği kaybetmeden $a_1 < a_2 < \ldots < a_{50}$ kabul edelim. Bu durumda $a_i + a_j$ toplamında $i=1$ sabitleyerek $$a_1 + a_2 < a_1 + a_3 < \ldots < a_1 + a_{50}$$ ve bununla birlikte $j=50$ sabitleyerek $$a_1 + a_{50} < a_2 + a_{50} < \ldots < a_{49} + a_{50}$$ eşitsizlik zincirlerinin birleşiminden görülür ki $$a_1 + a_2 < a_1 + a_3 < \ldots < a_1 + a_{50} < a_2 + a_{50} < \ldots < a_{49} + a_{50}$$ şeklinde birbirinden farklı olduğu kesin olan $\boxed{97}$ adet $a_i + a_j$ toplamı daima mevcuttur.
Tüm $a_i + a_j$ toplamlarının bu $97$ tanesinden ibaret olmasının mümkün olduğunu da görelim:
$a_n = n$ durumunu göz önüne alırsak $a_i + a_j = i+j$ olacağından en düşük toplam $a_1 + a_2 = 3$ ve en yüksek toplam $a_{49} + a_{50} = 99$ olur. $[3,99]$ aralığındaki tam sayı sayısı da $97$ olduğundan, bu durumda farklı $a_i + a_j$ toplamlarının sayısı $97$'yi aşamaz.
Sonuç olarak, her hâlükarda en az $97$ farklı $a_i + a_j$ toplamı mevcut olacaktır. Bununla birlikte, tam $97$ farklı $a_i + a_j$ toplamının mevcut olmasını sağlayan bir örnek de elimizde mevcuttur. Dolayısıyla aradığımız cevap $\boxed{97}$ dir.
