2007 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02

[matematikolimpiyati]

$x^4+x^2y^2+y^4=24$ ve $x^2-xy+y^2=6$ eşitliklerini sağlayan $x$ ve $y$ reel sayıları için $|x^3+y^3|$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 6\sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt6  \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt6  \qquad\textbf{e)}\ 5\sqrt2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım, $$x^4+x^2y^2+y^4=x^4+2x^2y^2+y^4-x^2y^2=(x^2+y^2)^2-(xy)^2=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)=24$$ $$\implies x^2+xy+y^2=4$$ $x^2-xy+y^2=6$ olduğunu bildiğimizden $x^2+y^2=5$ ve $xy=-1$ olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla $$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=3\implies \mid x+y\mid =\sqrt{3}$$ Dolayısıyla $$|x^3+y^3|=|x+y|\cdot |x^2-xy+y^2|=6\sqrt{3}$$ bulunur.