Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2001 Soru 18

[matematikolimpiyati]

$p^q+q^p$ sayısının asal olmasını sağlayan kaç $(p,q)$ asal sayı sıralı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$p, q$ asal sayılarının her ikisi de tek sayı veya her ikisi de çift sayı iken $p^q + q^p$ çift sayı olur. $p^q + q^p$, $2$ ile bölünebilen ve $2$ den büyük bir tam sayı olduğundan asal olamaz.



O halde $p, q$ asal sayılarının biri çift, diğeri tek sayı olmalıdır. $p=2$, $q$ tek sayı olsun.

$q = 3$ iken $p^q + q^p = 2^3 + 3^2 = 17 $ asal sayıdır.
$q \neq 3$ tek asal sayı iken Fermat teoreminden dolayı $q^2 \equiv 1 \pmod{3}$ tür. Diğer yandan $2^q \equiv (-1)^q \equiv -1 \pmod{3}$ olup  $p^q + q^p \equiv 1 + (-1) \equiv 0 \pmod{3}$ elde edilir. $p^q + q^p$, $3$ ile bölünebilen ve $3$ ten büyük bir tam sayı olduğundan asal olamaz.
Böylece aranan $(p,q)$ ikilileri $(3,2)$ ve $(2,3)$ olarak bulunur.