2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19

[matematikolimpiyati]

$x^3-y^3=2y^2+1$ denkleminin tam sayılarda kaç çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Denklemde $x>y$ olduğu barizdir. Yani $x\geq y+1$'dir. $$x^3=y^3+2y^2+1\geq (y+1)^3=y^3+3y^2+3y+1\implies 0\geq y^2+3y$$ elde edilir. Bu eşitsizliğin çözümü $y\in [-3,0]$'dür. Yani $y=-3,-2,-1,0$ olabilir. Yerine yazarsak, $(x,y)=(-2,-3),(1,-2),(1,0)$ çözümleri bulunur.

[AtakanCİCEK]

Alternatif bir çözüm paylaşayım.

Burada $2y^2+1>0$ olduğundan $x^3-y^3>0$ sonucundan $x>y$ elde edilebilir.

Derece indiren dönüşüm yapabiliriz. $x=y+d$ , $d\in \mathbb{Z^+}$ vardır. Buradan $$3y^2d+3yd^2+d^3=2y^2+1$$. Düzenlersek $$(3d-2)y^2+3d^2.y+(d^3-1)=0$$  ve bu da bize

$$Δ_y=9d^4-4.(3d-2).(d^3-1)=-3d^4+8d^3+12d-8$$ Bu ifadenin $d\geq 4$ tam sayıları için negatif olduğu gösterilebilir.

Denersek $d=1$ ve $d=3$ için diskriminantın tam kare olduğu görülebilir.

a)  $d=1$  olsun. Bu durumda $y^2+3y=0$  yani $y=0$  ve $y=-3$  çözümleri oluşur. $x=y+d$  ile $(x,y)=(1,0),(-2,-3)$ elde edilir.

b) $d=3$ olsun. Bu durumda $7y^2+27y+26=0$ yani $(y+2)(7y+13)=0$ oluşur. Bu da bize $(x,y)=(1,-2)$ çözümünü verir.

$3$ çözüm elde edilir.