2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 12

[matematikolimpiyati]

$x+y=a^5-3a^2$  ve  $x \cdot y = 144a^4$  denklem sisteminin pozitif reel sayılarda çözümünün varlığı için $a$ sayısı en az kaç olmalıdır?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt5  \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$x+y=A$ ve $xy=B$ denklik sisteminin reel sayılarda çözümü olması için gerek ve yeterli şart $A^2\geq 4B$ olmasıdır çünkü $(x-y)^2=A^2-4B$ olduğundan $x-y=\pm\sqrt{A^2-4B}$'dir. Buradan da denklem sistemini çözebiliriz. Çözümün pozitif reel sayılarda olması için ise $A,B>0$ omalıdır. Yani $a^3>3$ olmalıdır, $a$ pozitiftir. $$(a^5-3a^2)^2\geq 4\cdot 144a^4\implies (a^3-3)^2\geq 28^2\implies a^3-3\geq 24$$ olmalıdır. $a^3\geq 27$ olduğundan en küçük $a$ sayısı $3$'dür. Hatta eşitlik durumu geldiğinden, $a=3$ için denklemin çözümü $x=y=12a^2=108$'dır.