2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninde $\widehat A$ açısının açıortayı $BC$ kenarını $D$ noktasında kesiyor.

$|AB|-|BD|=24\ , \quad |AC|+|CD|=54$

olduğuna göre $|AD|$ kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ 27  \qquad\textbf{b)}\ 39  \qquad\textbf{c)}\ 32  \qquad\textbf{d)}\ 30  \qquad\textbf{e)}\ 36$

[fegi]

$|AB|= x$, $|BD| = xk$, $|AC|=y$ ve $|CD|= yk$ olsun.

$x-xk = 24$ ve $y+yk = 54$ olduğu verilmiş. $|AD|$ sorulmuş.  $$|AD|^2 = xy-xk\cdot yk = xy(1-k^2)  = (x-xk)(y+yk)  = 24\cdot 54$$ $$|AD|^2 = 24 \cdot54 \implies  AD = 36$$