2004 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 12

[matematikolimpiyati]

$N=\{1,2,3,...\}$ doğal sayılar kümesi olmak üzere$,\ f: \mathbb N \to \mathbb N$ fonksiyonu veriliyor. $f(1)=1$ ve her $n$ için $f(1)+f(2)+ \cdots f(n)$ toplamı$,\ n$'den büyük olmayan bir doğal sayının küpü olduğuna göre$,\ f(5)$'in $7$ ile bölümünden kalan nedir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$ 

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$f(1)+f(2)+\cdots+f(n)=S_n$ diyelim. $S_{n}-S_{n-1}=f(n)$'dir. Ayrıca her $n$ için $a\leq n$ olmak üzere, $S_n=a^3$ şeklinde olduğunu biliyoruz. İddiamız $S(n)=n^3$, yani $f(n)=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1$ olduğudur. $n=1$ için bu doğrudur. $n=1,2,\dots,k$ için de doğru olsun. Bu durumda, $$S_{k+1}=f(k+1)+S_{k}=f(k+1)+k^3>k^3$$ olduğundan $S_{k+1}\geq (k+1)^3$ olmalıdır. Ayrıca verilen kural gereği $(k+1)^3\geq S_{k+1}$ olduğundan, eşitlik sağlanmalı ve $S_{k+1}=(k+1)^3$, dolayısıyla da $f(k+1)=3(k+1)^2-3(k+1)+1$ olmalıdır. Tümevarımdan, her $n$ için $f(n)=3n^2-3n+1$'dir. $$f(5)=3\cdot 5^2-3\cdot 5+1=61\equiv 5\pmod{7}$$ elde edilir.