Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2003 Soru 14

[matematikolimpiyati]

$2^x+1=3^y$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$y=1$ ve $y=2$ için $(x,y)=(1,1), (3,2)$ çözümlerini elde ederiz. Dolayısıyla $x\geq 4$ ve $y\geq 3$ durumunu göz önüne alabiliriz. $2^x \equiv 0 \pmod{16}$ olur. Böylece verilen denklemden $3^y\equiv 1 \pmod{16}$ yazarız. Öte yandan

$$ 3^1 \equiv 3, \quad 3^2\equiv 9,  \quad 3^3 \equiv 11,  \quad 3^4\equiv 1 \pmod{16} $$

olduğundan $y=4k$ biçiminde bir pozitif tam sayı olmalıdır. $3^{4k}-1 =2^x$ denkleminden $(3^k-1)(3^k+1)(3^{2k}+1)=2^x$ yazılır. Sol taraftaki çarpanların her biri $2$ nin bir pozitif tam sayı kuvvetine eşit olmalıdır. $3^k-1$ ve $3^k + 1$ sayıları arasındaki fark $2$ olduğundan yalnızca $3^k-1=2$ ve $3^k + 1=4$ mümkündür. Bu durumda $k=1$ olur ancak $3^{2k} + 1 = 3^2 + 1 = 10$ sayısı, $2$ nin bir tam sayı kuvveti değildir. Böylece $(x,y)=(1,1), (3,2)$ dışında başka çözüm olmadığını anlarız.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 2: Önceki çözüme benzer ama daha sade bir çözüm verebiliriz. Modülo $16$ yerine modülo $4$ kullanarak problemi çözebiliriz.

Yanıt: $\boxed{B}$

$y=1$ için $(x,y)=(1,1)$ çözümünü elde elde ederiz. Dolayısıyla $x\geq 2$ ve $y\geq 2$ durumunu göz önüne alabiliriz. $2^x \equiv 0 \pmod{4}$ olur. Böylece verilen denklemden $3^y\equiv 1 \pmod{4}$ yazarız. Öte yandan

$$ 3^1 \equiv 3, \quad 3^2\equiv 1 \pmod{4} $$

olduğundan $y=2k$ biçiminde bir pozitif tam sayı olmalıdır. $3^{2k}-1 =2^x$ denkleminden $(3^k-1)(3^k+1)=2^x$ yazılır. Sol taraftaki çarpanların her biri $2$ nin bir pozitif tam sayı kuvvetine eşit olmalıdır. $3^k-1$ ve $3^k + 1$ sayıları arasındaki fark $2$ olduğundan yalnızca $3^k-1=2$ ve $3^k + 1=4$ mümkündür. Bu durumda $k=1$ olup $(x,y) = (3, 2)$ çözümü elde edilir.

Sonuç olarak, denklemin tüm pozitif tam sayı çözümlerinin $(x,y)=(1,1), (3,2)$ ikilileri olduğunu anlarız.