Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 33

[matematikolimpiyati]

$[a]$ ile $a$ gerçel sayısını aşmayan en büyük tam sayıyı gösterelim.

$\left[x\right]+[3x]+[5x]+[7x]+[11x]+[13x]=1994$
$\left[x\right]+[3x]+[5x]+[7x]+[11x]+[13x]=1995$
$\left[x\right]+[3x]+[5x]+[7x]+[11x]+[13x]=1996$
$\left[x\right]+[3x]+[5x]+[7x]+[11x]+[13x]=1997$

denklemlerinden kaç tanesinin çözüm kümesi boş değildir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$x-1<[ x ] \leq x$ olduğundan dolayı $A=1994,1995,1996,1997$ için $$40x-6<[ x ]+[ 3x ]+[ 5x ]+[ 7x ]+[ 11x ]+[ 13x ]=A\leq 40x$$ $$\implies \dfrac{A}{40}\leq x<\dfrac{A+6}{40}$$ olacaktır.

$A$'nın verilen her değeri için $49.85=\frac{1994}{40}\leq x<\frac{2003}{40}=50.075$ olacaktır. Yani $[ x ]=49$ veya $[ x ]=50$ olabilir.

Eğer $[ x ]=50$ ise $x\geq 50$'dir ve $$A=[ x ]+[ 3x ]+[ 5x ]+[ 7x ]+[ 11x ]+[ 13x ]\geq 40\cdot 50=2000$$ olur fakat bu bir çelişkidir. Yani $[ x ]=49$'dur ve $49.85<x<50$'dir. Dolayısıyla $$149.55<3x<150\implies [ 3x ]=149$$ $$249.25<5x<250\implies [ 5x ]=249$$ $$348.35<7x<350\implies [ 7x ]=348~~\text{veya}~~[ 7x ]=349$$ $$548.35<11x<550\implies [ 11x ]=548~~\text{veya}~~[ 11x ]=549$$ $$648.05<13x<650\implies [ 13x ]=648~~\text{veya}~~[ 13x ]=649$$ Buradan da $$A=[ x ]+[ 3x ]+[ 5x ]+[ 7x ]+[ 11x ]+[ 13x ]\leq 49+149+249+349+549+649=1994$$ Yani $A$, verilen değerleri arasında sadece $1994$ değerini alabilir. Örnek durum olarak da $49.99$ gibi $50$'ye çok yakın sayılar verilebilir.

[geo]

$a$ tam sayı ve $0 \leq y < 1$ olmak üzere; $x = a + y$ olsun.

$\begin{array}{lll}
A &=& [ x ]+[3x]+[5x]+[7x]+[11x]+[13x] \\ &=& [ a + y ]+[3a + 3y]+[5a + 5y]+[7a + 7y]+[11a + 11y]+[13a + 13y] \\
&=& 40a + [ y ]+[3y]+[5y]+[7y]+[11y]+[13y] \\
& \leq & 40a + 0 + 2 + 4 + 6 + 10 + 12 \\
&=& 40a + 34
\end{array}$

Bu durumda, $A$ toplamı $40$ ile bölündüğünde $34$ ten büyük kalan alamaz. $40 \times 49 + 34 = 1994$ olduğu için denklemlerden sadece biri sağlayabilir.
$a=49$ ve $1 - \dfrac 1{13} \leq y < 1$ sayıları için $A = 40a + 34 = 1994$ eşitliği sağlanır.