Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 25

[matematikolimpiyati]

$[AB]$ çaplı bir çemberin $[AC]$ ve $[BD]$ kirişlerinin kesişim noktası $P$ olmak üzere$,\ |AP|=2\sqrt2,\ |PC|=3\sqrt2$ ve $|AB|=5\sqrt3$ ise $|BP|.|BD|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 55  \qquad\textbf{b)}\ 48  \qquad\textbf{c)}\ 30\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 25\sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ 36$

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

$\triangle ABC$ de Pisagor uygularsak $BC = \sqrt {AB^2 - AC^2} = 5$ elde ederiz.
$BP \cdot BD = BP \cdot (BP + PD) = BP^2 + BP \cdot PD$
$P$ noktasının kuvvetinden $BP \cdot PD = AP \cdot PC$,
$\triangle BPC$ de Pisagordan $BP^2 = BC^2 + PC^2$,
$BP \cdot BD = BC^2 + PC^2 + AP \cdot PC = 25 + 18 + 12 = 55$ elde edilir.

[geo]

$P$ den $AB$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun.
$AH \cdot AB = AP \cdot AC$ ve $BH \cdot BA = BP \cdot BD$ eşitliklerini taraf tarafa toplarsak $$AP \cdot AC + BP\cdot BD = AB(AH+BH) = AB^2$$ elde ederiz.
Değerleri yerine yazarsak $BP \cdot BD = (5\sqrt 3)^2 - 2\sqrt 2 \cdot 5\sqrt 2 = 75-20 = 55$ elde ederiz.