Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 29

[matematikolimpiyati]

$a,b$ sıfırdan farklı ve $c$ pozitif olmak üzere$,\ a,b,c$ tam sayıları$,\ \dfrac{5}{663}=\dfrac{a}{17}+\dfrac{b}{c}$ denklemini sağlıyorsa $b$'nin alabileceği en küçük pozitif değer nedir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 44  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 76  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$a$'lı kesiri karşı tarafa atarsak $$\dfrac{b}{c}=\dfrac{5-39a}{663}$$ olur. $b$ ve $c$ pozitif olduğundan $a$ negatiftir. $a$ yerine $-n$ yazalım. Böylece $n,b,c>0$ olacaktır. $$\dfrac{b}{c}=\dfrac{5+39n}{663}$$ $\frac{5+39n}{663}$'nin en sade hali $\frac{p}{q}$ ise $b=pk$ ve $c=qk$ olacak şekilde bir $k$ pozitif tam sayısı vardır. $b$'nin en küçük değerini aradığımızdan $k=1$ seçmeliyiz. $663=3\cdot 13\cdot 17$ olduğundan ve $39n+5$ sayısı ne $3$'ün ne de $13$'ün tam katı olduğundan, $\frac{5+39n}{663}$ kesiri ya sadeleşemez ya da $17$ ile sadeleşir. Eğer sadeleşmiyorsa $b=39n+5$ olmalıdır. Buradan minimum $b$ değeri $44$ bulunur.

Eğer $17$ ile sadeleşebiliyorsa $b=\frac{39n+5}{17}$ olmalıdır. Buradan $$39n+5\equiv 5n+5\equiv 0\pmod{17}\implies n\equiv 16\pmod{17}$$ bulunur. Yani $b$'nin en küçük değeri $\dfrac{16\cdot 39+5}{17}=37$ bulunur. Yani en küçük $b$ pozitif tam sayı değeri $37$'dir.