Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 27

[matematikolimpiyati]

$n$ elemanlı her $\{x_1, x_2, ..., x_n \}$ negatif olmayan gerçel sayı kümesinde$,\ 0<\dfrac{|x_i-x_j|}{(3+x_i)(3+x_j)}<\dfrac{1}{33}$ olacak şekilde en az iki $x_i , x_j$ elemanının var olmasını gerektiren en küçük $n$ tam sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 34  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 100  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Kümenin elemanlarını $x_1<x_2<\cdots<x_n$ olarak dizelim. Verilen eşitsizliğin hiçbir $x_i, x_j$ için sağlamadığını varsayalım. Tüm farklı $i$ ve $j$ için $$\dfrac{|x_i-x_j|}{(3+x_i)(3+x_j)}\geq \dfrac{1}{33}$$ olmalıdır. Genelliği bozmadan $i>j$ olsun. $3+x_j=a$ ve $x_i-x_j=k$ diyelim, $$\dfrac{k}{a(a+k)}\geq \dfrac{1}{33}$$ olacaktır. Soldaki ifadeyi $k$'ya bağlı bir fonksiyon olarak düşünelim. Türevi $\frac{1}{(a+k)^2}$ olduğundan bu ifade $k$'ya göre artandır. Dolayısıyla $i$'i $j+1$ olarak almamız ve incelememiz yeterlidir. Eşitsizliği düzenlersek $$\dfrac{x_{j+1}-x_j}{(3+x_j)(3+x_{j+1})}\geq \dfrac{1}{33}\iff x_{j+1}(30-x_j)\geq 9+36x_j$$ elde edilir. Buradan $i=1,2,\dots,n-1$ için $x_i<30$ olması gerektiğini görürüz. Bunu kabul ederek $$x_{j+1}\geq \dfrac{9+36x_j}{30-x_j}$$ elde ederiz. Sağdaki ifadeyi de $x_j$'ye bağlı bir fonksiyon olarak yazıp, türevini hesaplarsak, artan olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla en uzun $(x_i)$ dizisini elde edebilmek için $x_1=0$ ve $x_{i+1}= \dfrac{9+36x_j}{30-x_j}$ olarak almalıyız. Dizinin elemanlarını yazarsak, $$0,\dfrac{3}{10},\dfrac{2}{3},\dfrac{9}{8},\dfrac{12}{7},\dfrac{5}{2},\dfrac{18}{5},\dfrac{21}{4},8,\dfrac{27}{2},30$$ olur ve $11$ terimden daha fazla ilerleyemeyiz. Dolayısıyla $12$ veya daha fazla terim varsa kesinlikle verilen eşitsizliği sağlayan bir ikili vardır.

[geo]

Basit bir düzenlemeyle $0<\dfrac{|x_i-x_j|}{(3+x_i)(3+x_j)}= \left | \dfrac {1}{x_i + 3} - \dfrac {1}{x_j + 3} \right | < \dfrac{1}{33}$ elde ederiz.

$y_i = \dfrac 1 {x_i + 3}$ şeklinde değişken değiştirsek $0<y_i \leq \dfrac 13$ ve $0<\left |y_i - y_j \right | < \dfrac 1{33}$ olacaktır.

$\left (0, \frac 13 \right ]$ aralığında $11$ noktayı ($n=1,2,\dots, 11$ olmak üzere) $y_n = \dfrac n {33}$ şeklinde seçersek herhangi iki noktanın arasındaki uzaklık $|y_i - y_j| \geq \dfrac {1}{33}$ olacaktır.


$\left (0, \frac 13 \right ]$ aralığını $\left (0,\frac {1}{33} \right ]$, $\left (\frac {1}{33},\frac {2}{33} \right]$, $\dots$, $ \left (\frac {10}{33},\frac {11}{33} \right]$ şeklinde $11$ ayrık bölgeye ayıralım. $12$ nokta aldığımızda Güvercin Yuvası İlkesi gereği en az $2$ nokta aynı aralıkta yer alacaktır.

Bu durumda bu iki nokta için $0<\left |y_i - y_j \right | < \dfrac {1}{33}$ olacaktır.

[Lokman Gökçe]

Verilen şartı sağlamayan bir $n$ sayısı ve $0 \leq x_1<x_2<\cdots < x_n$ dizisi düşünelim. Her $i>j$ için $\dfrac{x_i - x_j}{(3+x_i)(3+x_j)} \geq \dfrac{1}{33}$ olacaktır. $$ \dfrac{1}{3+x_j} -  \dfrac{1}{3+x_i} \geq \dfrac{1}{33} $$
eşitsizliğinde $i=j+1$ ve $j=1,2,\dots, n-1$ değerlerini yazarsak

$ \dfrac{1}{3+x_1} -  \dfrac{1}{3+x_2} \geq \dfrac{1}{33} $
$ \dfrac{1}{3+x_2} -  \dfrac{1}{3+x_3} \geq \dfrac{1}{33} $
$\vdots$
$ \dfrac{1}{3+x_{n-1}} -  \dfrac{1}{3+x_n} \geq \dfrac{1}{33} $

olur. Alt alta toplarsak, teleskopik toplam oluşur ve $$ \dfrac{1}{3+x_1} -  \dfrac{1}{3+x_n} \geq \dfrac{n-1}{33} $$
elde ederiz. $ \dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{3+x_1} -  \dfrac{1}{3+x_n}$ olduğundan $\dfrac{1}{3} > \dfrac{n-1}{33} $ elde ederiz. Buradan $n<12$ iken istenen koşulun sağlanmayacağını anlıyoruz. Koşulu sağlayan en az iki $x_i,x_j$ sayısının olması için $n\geq 12$ olmalıdır.

Şimdi $n=12$ için $ \dfrac{1}{3+x_1} -  \dfrac{1}{3+x_{12}} \geq \dfrac{12-1}{33} = \dfrac{1}{3}$ olmaması gerekir. İsterseniz bu eşitsizlik mümkün olabiliyor mu diye bir kez daha kontrol edelim. $x_1=0$ en küçük değerini verirsek ve $x_{12}\to \infty$ limit durumunda eşitlik sağlanabiliyor. Fakat $x_{12} < \infty$ bir pozitif gerçel sayı olduğundan $ 0 < \dfrac{1}{3+x_1} -  \dfrac{1}{3+x_{12}} < \dfrac{1}{3}$ olur. $(0, \dfrac{1}{3})$ aralığını $11$ eş uzunluklu alt aralığa ayırırsak, yani alt aralıkların uzunlukları $\dfrac{1}{33}$ olursa (bkz Geo'nun çözümü); seçtiğimiz $12$ noktadan en az ikisi aynı alt aralığa düşer. Bu sayılara $x_i, x_j$ dersek $ \dfrac{1}{3+x_j} -  \dfrac{1}{3+x_i} < \dfrac{1}{33} $ koşulu sağlanır. En küçük değer $n=12$ dir.