Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 24

[matematikolimpiyati]

Tahtaya $1$ den $12$ ye kadar olan tam sayıları yazalım. Her adımda bu $12$ sayıdan ikisini silerek, ya toplamlarının ya da farklarının mutlak değerini iki kere yazıyoruz. Sonlu sayıda adım sonucunda tahtaya yazılı sayıların hepsi aynı $n$ tam sayısına eşit hale geliyor. $n$ aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$\textbf{a)}\ 9  \qquad\textbf{b)}\ 24  \qquad\textbf{c)}\ 10  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

$2-1 = 1$, $4-3=1$, $\dots$, $12-11 = 1$ ile tahtadaki tüm sayılar $1$ e dönüşür.
$(1,1)$ üzerinden sürekli toplama işlemi ile $2^0, \dots, 2^n$ sayıları elde edilebilir.
$(1,1) \rightarrow (2, 2) \rightarrow (4,4) \rightarrow (8,8) \rightarrow (16,16) \rightarrow \dots$
İlk $6$ sayının tamamını $a$ yaptığımızı, ikinci $6$ sayının tamamını da $b$ yaptığımızı varsayalım. O zaman $1.$ ile $7.$, $2.$ ile $8.$, $\dots$, $6.$ ile $12.$ toplanarak tahtadaki tüm sayılar $a+b$ haline gelir.
$9 = a+b = 8 + 1$, $24 = a+b = 16 + 8$, $10 = a+b=8+2$, $16 = a+b = 8+8$ olduğu için şıklardan hepsi elde edilebilir.