$(k_1 = 1/2, N=4)$ Kesen Problemi

[geo]

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda anlatılan $(k_1 = 1/2, N=4)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $\angle ABC = b = 45^\circ$, $\angle ACB = c = 75^\circ$, $\angle BAC = a = 60^\circ$, $\angle ADC = d = 60^\circ$, $\angle BAD = a_1 = 15^\circ$, $\angle CAD = a_2 = 45^\circ$ şartlarını sağlayan $D$ noktası için $k_1 = BD:DC = 1:2$ dir. $a,b,c,d,a_1,a_2$ açılarından herhangi ikisi ile $k_1=1/2$ oranı verildiğinde diğer açıların bulunduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_1 = 1/2
& 1.0 & (b=45^\circ, c=75^\circ, d=60^\circ) & k_1 = 1/2 \\
& 1.1 & (k_1 = 1/2, b=45^\circ, c = 75^\circ)  & a_1 = 15^\circ \\
& 1.2 & (k_1 = 1/2, a=60^\circ, d = 60^\circ)  & a_1 = 15^\circ  \\
& 1.3 & (k_1 = 1/2, b=45^\circ, a_1 = 15^\circ)  & a_2 = 45^\circ  \\
& 1.4^* & (k_1 = 1/2, b=45^\circ, a_2 = 45^\circ )  & a_1 = 15^\circ \text{ veya } a_1 = 75^\circ  \\
& 1.5 & (k_1 = 1/2, c=75^\circ, a_1 = 15^\circ )  & a_2 = 45^\circ \\
& 1.6 & (k_1 = 1/2, c=75^\circ, a_2 = 45^\circ)  & a_1 = 15^\circ  \\
& 1.7 & (k_1 = 1/2, a_1=15^\circ , a_2 = 45^\circ)  & b = 45^\circ \\

\end{array}
$$

[geo]

$(k_1 = 1/2, N=1.0) = (b=45^\circ, c=75^\circ, d=60^\circ) \Longrightarrow k_1 = 1/2$

Tüm açılar verildiğinde $k_1 = BD:DC = 1:2$ olduğunu gösterelim.

Sinüs teoreminden $$\dfrac {BD}{AD} = \dfrac{\sin a_1}{\sin b}$$ $$\dfrac {AD}{DC} = \dfrac{\sin c}{\sin a_2}$$
Taraf tarafa çarparsak $$k_1 = \dfrac {BD}{DC} = \dfrac {\sin a_1}{\sin a_2} \cdot \dfrac {\sin c}{\sin b} \tag {1}$$

Soru özelinde değerlendirirsek, $k_1 = \dfrac {\sin 15^\circ}{\sin 45^\circ} \cdot \dfrac {\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} =  \dfrac {2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ}{2\sin 45^\circ \cos 45^\circ} = \dfrac {\sin 30^\circ}{\sin 90^\circ} = \dfrac {1}{2}$ elde ederiz. $\blacksquare$