$(k_1 = 1/2, N=1)$ Kesen Problemi

[geo]

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda anlatılan $(k_1 = 1/2, N=1)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $\angle ABC = b = 45^\circ$, $\angle ACB = c = 15^\circ$, $\angle BAC = a = 120^\circ$, $\angle ADC = d = 120^\circ$, $\angle BAD = a_1 = 75^\circ$, $\angle CAD = a_2 = 45^\circ$ şartlarını sağlayan $D$ noktası için $k_1 = BD:DC = 1:2$ dir. $a,b,c,d,a_1,a_2$ açılarından herhangi ikisi ile $k_1=1/2$ oranı verildiğinde diğer açıların bulunduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_1 = 1/2
& 1.0 & (b=45^\circ, c=15^\circ, d=120^\circ) & k_1 = 1/2 \\
& 1.1 & (k_1 = 1/2, b=45^\circ, c = 15^\circ)  & a_1 = 75^\circ \\
& 1.2 & (k_1 = 1/2, a=120^\circ, d = 120^\circ)  & a_1 = 75^\circ  \\
& 1.3 & (k_1 = 1/2, b=45^\circ, a_1 = 75^\circ)  & a_2 = 45^\circ  \\
& 1.4^* & (k_1 = 1/2, b=45^\circ, a_2 = 45^\circ )  & a_1 = 75^\circ \text{ veya } a_1 = 15^\circ  \\
& 1.5 & (k_1 = 1/2, c=15^\circ, a_1 = 75^\circ )  & a_2 = 45^\circ \\
& 1.6 & (k_1 = 1/2, c=15^\circ, a_2 = 45^\circ)  & a_1 = 75^\circ  \\
& 1.7 & (k_1 = 1/2, a_1=75^\circ , a_2 = 45^\circ)  & b = 45^\circ \\

\end{array}
$$

İlgili soruların çözümleri:

1.0 (Trigonometrik), 1.0
1.1
1.2
1.3
1.4, 1.4 (Trigonometrik)
1.5 (Trigonometrik)
1.6
1.7

[geo]

$(k_1 = 1/2, N=1.0) = (b=45^\circ, c=15^\circ, d=120^\circ) \Longrightarrow k_1 = 1/2$

Öncelikle tüm açılar verildiğinde $k_1 = BD:DC = 1:2$ olduğunu gösterelim.

Sinüs teoreminden $$\dfrac {BD}{AD} = \dfrac{\sin a_1}{\sin b}$$ $$\dfrac {AD}{DC} = \dfrac{\sin c}{\sin a_2}$$
Taraf tarafa çarparsak $$k_1 = \dfrac {BD}{DC} = \dfrac {\sin a_1}{\sin a_2} \cdot \dfrac {\sin c}{\sin b} \tag {1}$$

Soru özellinde değerlendirirsek, $k_1 = \dfrac {\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} \cdot \dfrac {\sin 15^\circ}{\sin 45^\circ} =  \dfrac {2 \cos 15^\circ \sin 15^\circ}{2\sin 45^\circ \cos 45^\circ} = \dfrac {\sin 30^\circ}{\sin 90^\circ} = \dfrac {1}{2}$ elde ederiz. $\blacksquare$

[geo]

$(k_1 = 1/2, N=1.0) = (b=45^\circ, c=15^\circ, d=120^\circ) \Longrightarrow k_1 = 1/2$ probleminin sentetik çözümü:

$\triangle ABC$ nin çevrel merkezi $O$ olsun. $\angle AOC = 2\angle ABC = 90^\circ$ ve $\angle OAC = \angle OCA = 45^\circ$ olacağı için $A,D,O$ doğrusaldır.
$\triangle OBC$ ikizkenar bir üçgendir. Basit açı hesaplarıyla $\angle CBO = \angle BCO = \angle BOD = 30^\circ$ bulunur. $\triangle ODC$ bir $30^\circ-60^\circ - 90^\circ$ üçgeni olduğu için $BD = OD = DC/2 $ elde edilir. $\blacksquare$

[geo]

$(k_1 = 1/2, N=1.1) = (k_1 = 1/2, b=45^\circ, c = 15^\circ) \Rightarrow a_1 = 75^\circ$

Öncelikle $(k_1, b, c)$ problemleri için $\triangle ABC$ nin de $a,b,c$ açıları bilindiği ve $BC$ kenarı üzerinde $BD/DC=2$ şeklinde tek bir $D$ noktası alınabileceği için $\angle BAD = a_1$ değeri tektir. Yani $(k_1, b, c)$ problemlerinin tek cevabı vardır.
(Bu cevap elementer yöntemlerle tam olarak hesaplanabilir mi? Bu ayrı bir konu.)

Soruya geri dönersek,

$C$ den $AB$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun. $BD=1$ ise $CH=\dfrac {3\sqrt 2}{2}$ olacaktır.
$\angle ACH = 30^\circ$ olduğu için $AC = \sqrt 6$ olacaktır.
$CD \cdot CB = 2 \cdot 3 = 6 = AC^2$ olduğu için $\angle DAC = \angle ABC = 45^\circ$ elde edilir. (Çemberde kuvvet)
Bu durumda $a_1 = \angle BAD = 75^\circ$ olur. $\blacksquare$

[geo]

$(k_1 = 1/2, N=1.2) = (k_1 = 1/2, a=120^\circ, d = 120^\circ)  \Longrightarrow a_1 = 75^\circ$

$\angle ADC = \angle BAC = 120^\circ$ olduğu için $\triangle CAD \sim \triangle CBA$ $(A.A)$. $CD : CA = CA : CB = AD : BA$
$BD=1$ ve $AD=2x$ dersek $AC=\sqrt 6$ ve $AB=x\sqrt 6$ elde edilir.
$AB > AD$ ve $\angle ADB = 60^\circ$ olduğu için $\angle ABD < \angle ADB = 60^\circ$ olur. Bu durumda $A$ dan $BD$ ye inilen dikmenin ayağı $H \in [BD]$ dir. $\triangle AHD$ bir $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$ üçgeni olduğu için $AH = a\sqrt 3$ tür. $\triangle ABH$ üçgeninde Pisagor'dan $AH = BH=a\sqrt 3$ bulunur. Bu da $\angle ABH = 45^\circ$ ve $\angle ABD = 75^\circ$ anlamına gelir. $\blacksquare$

[geo]

$(k_1 = 1/2, N=1.3) = (k_1 = 1/2, b=45^\circ, a_1 = 75^\circ)  \Longrightarrow a_2 = 45^\circ$

$A$ dan $BD$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun. $[CD]$ üzerinde $AH=HE$ olacak şekilde bir $E$ noktası alalım.
$HD=x$ dersek, $AH=x\sqrt 3$, $AD=2x$, $BH=x\sqrt 3$, $BD=x + x\sqrt 3$, $CD= 2(x+x\sqrt 3)$, $HE=x\sqrt 3$, $DE=x\sqrt 3 - x$ olur.
$DE \cdot DC = 2(x\sqrt 3 + x)(x\sqrt 3 - x) = 4x^2 = AD^2$ olduğu için ($KAK$ benzerliğinden ya da çemberde kuvvetten) $\angle AED = \angle CAD = 45^\circ$ bulunur. $\blacksquare$

[geo]

$(k_1 = 1/2, N=1.4) = (k_1 = 1/2, b=45^\circ, a_2 = 45^\circ)  \Longrightarrow a_1 = 75^\circ$

$\angle DAC = \angle ABC = 45^\circ$ olduğu için $\triangle CAD \sim \triangle CBA$ $(A.A)$. $CD : CA = CA : CB = AD : BA$
$BD=1$ ve $AD=2x$ dersek $AC=\sqrt 6$ ve $AB=x\sqrt 6$ elde edilir.
$A$ dan $BC$ inilen yükseliğin ayağı $H$ olsun.

• $H \in [BD]$ ise
  
  
  $BH=AH=a\sqrt 3$ dolayısıyla $\angle ADB = \angle ADH = 60^\circ$ ve $a_1 = \angle BAD = 75^\circ$.
  
  
• $H \in [DC$ ise
  
  
  $BH = AH = a\sqrt 3$ dolayısıyla $\angle ADC = \angle ADH = 60^\circ$ ve $a_1 = \angle BAD = 15^\circ$
  

$a_1 = 75^\circ$ veya $a_1 = 15^\circ$ elde edilir.

[geo]

$(k_1 = 1/2, N=1.4) = (k_1 = 1/2, b=45^\circ, a_2 = 45^\circ)  \Longrightarrow a_1 = 75^\circ$ trigonometrik çözelim.

$k_1 = \dfrac {BD}{DC} = \dfrac {\sin a_1}{\sin a_2} \cdot \dfrac {\sin c}{\sin b} \tag {1}$

$\angle ADC = \alpha$ olsun. $a_1 = \alpha - 45^\circ$ ve $c=135^\circ - \alpha$ olacaktır.

$\dfrac {1}{2} = \dfrac {\sin (\alpha - 45^\circ)}{\sin 45^\circ} \dfrac{\sin (135^\circ - \alpha)}{\sin 45^\circ} = 2\sin (\alpha - 45^\circ)\sin (135^\circ - \alpha) = \cos (2\alpha - 180^\circ) - \cos 90^\circ = \cos (2\alpha - 180^\circ)$

• $2\alpha - 180^\circ = 60^\circ \Rightarrow \alpha = 120^\circ$ ve $a_1 = 75^\circ$
• $2\alpha - 180^\circ = -60^\circ \Rightarrow \alpha = 60^\circ$ ve $a_1 = 15^\circ$

elde edilir.

[geo]

$(k_1 = 1/2, N=1.5) = (k_1 = 1/2, c=15^\circ, a_1 = 75^\circ)  \Longrightarrow a_2 = 45^\circ$

$k_1 = \dfrac {BD}{DC} = \dfrac {\sin a_1}{\sin a_2} \cdot \dfrac {\sin c}{\sin b} \tag {1}$

$\angle ADC = \alpha$ olsun. $b = \alpha - 75^\circ$ ve $a_2=165^\circ - \alpha$ olacaktır.

$\dfrac {1}{2} = \dfrac {\sin 75^\circ}{\sin (165^\circ - \alpha)} \dfrac {\sin 15^\circ}{\sin (\alpha -75^\circ)} \Longrightarrow  \sin (165^\circ - \alpha)\sin (\alpha -75^\circ) = 2 \cos 15^\circ \sin 15^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac 12 $

$\Longrightarrow 1 = 2\sin (165^\circ - \alpha)\sin (\alpha -75^\circ)  = \cos (240^\circ - 2\alpha) - \cos 90^\circ = \cos (240^\circ - 2\alpha) $

Buradan
$240^\circ-2\alpha = k\cdot 360^\circ \Longrightarrow \alpha = 120^\circ - k\cdot 180^\circ \Longrightarrow \alpha = 120^\circ \Longrightarrow a_2 = 45^\circ$ elde edilir.

[geo]

$(k_1 = 1/2, N=1.6) = (k_1 = 1/2, c=15^\circ, a_2 = 45^\circ )  \Longrightarrow a_1 = 75^\circ$

$[AD$ üzerinde $EC \perp AC$ olacak şekilde bir $E$ noktası alalım.
$\triangle ACE$ ikizkenar dik üçgeninde $CH$ hipotenüse ait yükseklik olsun.
$BD=1$ dersek $CD=2$. $\angle CDH = 60^\circ$ olduğu için $CH =\sqrt 3$ ve $HD = 1$. $AH=HE=HC = \sqrt 3$ olduğu için $AD=\sqrt 3 - 1$ ve $DE = \sqrt 3 + 1$.
$AD \cdot DE = 3 - 1 = 2 = 2 \cdot 1  = CD \cdot DB$ olduğu için $A, B, E, C$ noktaları çemberseldir. Bu durumda $\angle ABC = \angle AEC = 45^\circ$ ve $a_1 = 75^\circ$. $\blacksquare$

[geo]

$ (k_1 = 1/2, N=1.7 ) =  (k_1 = 1/2, a_1=75^\circ , a_2 = 45^\circ)  \Longrightarrow b = 45^\circ $

$AD$, $\triangle ABC$ çevrel çemberini $E$ de kessin. $C$ den $BE$ inilen dikmenin ayağı $H$ olsun.
$\angle CAE = \angle EBC = 45^\circ$, $\angle ACE = \angle ABE = 75^\circ$, $\angle HCA = 45^\circ$ ve $\angle ECH = 30^\circ$ dir.
$HE=x$ dersek $CE=2x$, $AH = CH = x\sqrt 3$, $AC=x\sqrt 6$, $CD = \dfrac {2x\sqrt 6}{3}$.
$CD \cdot CA = \dfrac {2x\sqrt 6}{3} \cdot x\sqrt 6 = 4x^2 = CE^2$ olduğu için $\angle DEC = \angle EAC = 45^\circ$.
$ABCE$ kirişler dörtgeninde $b = \angle BAC = \angle BEC = 45^\circ$ olur. $\blacksquare$