Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2004 Soru 06

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ çeşitkenar üçgeninde $E,$ $AB$ üstünde$,$ $F$ de $AC$ üstünde olmak üzere$,$ $CE$ ve $BF$ sırasıyla $\widehat C$ ve $\widehat B$ nin iç açıortaylarıdır. $CEA$ ve $BFA$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $BC$ kenarı üstünde kesişiyorsa$,$ $s(\widehat{BAC})$ nedir?

$\textbf{a)}\ 15^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 30^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 45^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 60^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 75^{\circ}$

[ygzgndgn]

Cevap: $\boxed{D}$

Çevrel çemberlerin kesişimi $D$ olsun. $(BFA)$ çemberinde iki açı da $DF$ yayını gördüğünden $\angle{FBC}=\angle{FAD}$ olmalıdır. Benzer şekilde $\angle{ECB}=\angle{EAD}$ olmalıdır. $CE$ ve $BF$ açıortay olduğundan $\angle{B}=2B$ ve $\angle{C}=2C$ denirse $\angle{A}=B+C$ olmalıdır. İç açılar toplamından $3B+3C=180$ olup $B+C=60$ olacaktır. Öyleyse $\angle{A}=B+C=60$ olmalıdır.