Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2020 Soru 2

[matematikolimpiyati]

Aşağıdaki üç koşulun hepsini sağlayan tüm $(x_1,x_2,...,x_{2020})$ negatif olmayan gerçel sayı listelerini bulunuz:

  (i) $x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_{2020};$

 (ii) $x_{2020} \leq x_1+1;$

(iii) $(x_1,x_2,...,x_{2020})$'nin

                                                 $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{2020} \big( (x_i+1) (y_i+1) \big)^2=8 \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{2020} x_i^3$

olacak şekilde bir $(y_1,y_2,...,y_{2020})$ permütasyonu vardır.

Bir listenin permütasyonu, bu listeyle aynı girdilere sahip ve girdilerin herhangi bir sırada olabildiği aynı uzunluktaki bir listedir. Örneğin $(2,1,2),\ (1,2,2)$'nin bir permütasyonudur ve bunların her ikisi de $(2,2,1)$'in permütasyonudur. Herhangi bir listenin kendisinin bir permütasyonu olduğunu dikkate alınız.