Tübitak Lise 2. Aşama 2018 Soru 2

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir $P$ noktası alınıyor. $AP,BP,CP$ doğruları $BC,CA,AB$ kenarlarını sırasıyla $D,E,F$ noktalarında kesiyor. $[BE$ ışını üzerinde bir $Q$ noktası $E \in [BQ]$ ve $m(\widehat{EDQ})=m(\widehat{BDF})$ olacak şekilde alınıyor. $BE \perp AD$ ve $|DQ|=2|BD|$ ise $m(\widehat{FDE})=60^{\circ}$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

import geomania;
size(320);

pair A = (1.01, 4.514);
pair B = (0, 0);
pair C = (6, 0);
pair P = (2.667, 1.436);

pair D  = extension(A, P, B, C);
pair Ep = extension(B, P, C, A);
pair F  = extension(C, P, A, B);
pair Q  = (8.553, 4.606);
pair Qp = Q + 0.7*unit(Q - B);
pair L  = extension(B, P, F, D);

pair M  = foot(Ep, D, F);
pair Np = foot(L, D, Ep);
pair H  = extension(Ep, M, L, Np);

draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);
draw(C--F);
draw(B--Qp, EndArrow);
draw(D--Ep);
draw(D--F);
draw(D--Q);

draw(Ep--M, blue);
draw(L--Np, blue);
draw(B--M, blue+dashed);
draw(M--Np, blue);

dikacinokta(Ep, P, A);
dikacinokta(D, M, Ep, blue);
dikacinokta(L, Np, D, blue);
acicentik(Q, D, Ep, 2, 20);
acicentik(F, D, B, 2, 20);

label("$x$", midpoint(B, D), S);
label(rotate(degrees(Q - D))*"$2x$", midpoint(D, Q), SE);

dot("$A$", A, N);
dot("$B$", B, SW);
dot("$C$", C, SE);
dot("$D$", D, S);
dot("$E$", Ep, N);
dot("$F$", F, W);
dot("$P$", P, NW);
dot("$Q$", Q, N);
dot("$L$", L, S, red);
dot("$M$", M, dir(-110), blue);
dot("$N$", Np, E, blue);
dot("", H, 1.5*N, blue);

$BE$ ile $DF$, $L$ de kesişsin.
$DEL$ üçgeninde diklik merkezi $H$ olsun.
$EM$ ve $LN$ diğer iki yükseklik olsun.

$$
\begin{array}{lcl}
\angle EDM = 60^\circ & \iff & 2\cdot DM = DE \\
&\iff & \triangle MDB \sim \triangle EDQ \\
&\iff & \angle LMB = \angle LED = \angle NMD \\
\end{array}
$$
Bu durumda $B, M, N$ doğrusal ise ispat tamamlanmış olur.

Bunun için tam dörtgenler (Complete Quadrangle) özelliklerini kullanacağız.
 

import geomania;
size(320);

pair A = (4.5, 5.5);
pair B = (0, 0);
pair C = (6, 0);
pair P = (4.2, 1);

pair D  = extension(A, P, B, C);
pair Ep = extension(B, P, C, A);
pair F  = extension(C, P, A, B);
pair L  = extension(B, Ep, D, F);
pair Y  = extension(D, F, A, C);
pair T = extension(Y, P, A, B);

draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);
draw(B--Ep);
draw(C--F);
draw(F--Y);
draw(C--Y);
draw(Y--T, red);

dot("$A$", A, N);
dot("$B$", B, SW);
dot("$C$", C, E);
dot("$D$", D, S);
dot("$E$", Ep, E);
dot("$F$", F, NW);
dot("$P$", P, dir(50));
dot("$L$", L, N);
dot("$Y$", Y, SE);
dot("$T$", T, NW, red);

$ABC$ üçgeninin içindeki $P$ noktasından geçen doğrular (kesen, Cevian) $BC$, $CA$, $AB$ kenarılarını sırasıyla $D$, $E$, $F$ de kessin.
$DF$ ile $AC$ doğruları $Y$ de kesişsin. $DF$ ile $BE$ doğruları $L$ noktasında kesişsin.

Lemma 1:
$E$ ve $Y$ noktaları $AC$ yi harmonik olarak böler, yani $(A,C; E, Y) = -1$.

Çözüm:
$ABC$ üçgeninde Ceva'dan
$\dfrac{AF \cdot BD \cdot CE}{FB \cdot DC \cdot EA} = 1$.

$ABC$ üçgeninde $F$, $D$, $Y$ noktaları için Menelaus uygulayalım.
$\dfrac{AF \cdot BD \cdot CY}{FB \cdot DC \cdot YA} = 1$.

İkisini birleştirirsek $\dfrac {YC}{YA} = \dfrac {EC}{EA}$ $\blacksquare$

Lemma 2:
$(B, P; L, E) = -1$

Çözüm:
$YP$ ile $AB$, $T$ noktasında kesişsin.
Lemma 1 gereği; $ACDF$ tam dörtgeni için $(A,F;X,B) = -1 = (E, L, P, B) = (L, E, P, B)$ $\blacksquare$

Soruya geri dönelim:
Lemma 2 gereği; $(E, L; P, B) = -1$.

$EMNL$ tam dörtgeninde, Lemma 1 gereği $(E, L; P, NM \cap EL) = -1$ olacağı için $NM \cap EL = \{B\}$ dir.