Tübitak Lise 2. Aşama 2021 Soru 3

[matematikolimpiyati]

$\Gamma$ çemberi $ABC$ üçgeninin $BC$ kenarına $X$ noktasında$,$ $AC$ kenarına ise $Y$ noktasında teğettir. $AB$ kenarı üzerindeki bir $P$ noktası için $XP$ ve $YP$ nin $\Gamma$ ile ikinci kesişimleri sırasıyla $K$ ve $L,$ $AK$ ve $BL$ nin $\Gamma$ ile ikinci kesişimleri sırasıyla $R$ ve $S$ olsun. $XR$ ve $YS$ nin $AB$ üzerinde kesiştiğini gösteriniz.

[geo]

Pascal Teoremi'nin dejenere halini iki kez uygulayarak çözeceğiz.

size(9cm);
defaultpen(fontsize(9pt));

pair O=(0,0);
// U cember uzerinde: U-M dogrusunun cemberle ikinci kesisimi
pair sec(pair U, pair M){ pair d=M-U; real t=-2*dot(U,d)/dot(d,d); return U+t*d; }

pair X=dir(140.1), Y=dir(270);
pair C=extension(X, X+rotate(90)*X, Y, Y+rotate(90)*Y); // tegetlerin kesisimi
pair A=C+2.618*(Y-C);
pair B=C+1.649*(X-C);
pair P=A+0.423*(B-A);
pair K=sec(X,P), L=sec(Y,P);
pair R=sec(K,A), S=sec(L,B);

pen p=black;
draw(circle(O,1), p);
draw(A--B--C--cycle, p);
draw(X--P, p); draw(Y--P, p);
draw(A--R, p); draw(B--L, p);
draw(X--R, p); draw(Y--S, p);

dot(A); dot(B); dot(C); dot(X); dot(Y); dot(P);
dot(K); dot(L); dot(R); dot(S);
label("$A$", A, E);      label("$B$", B, N);
label("$C$", C, dir(215)); label("$X$", X, W);
label("$Y$", Y, dir(-83)); label("$P$", P, dir(60));
label("$K$", K, dir(78));  label("$L$", L, dir(-30));
label("$R$", R, dir(70));  label("$S$", S, dir(30));

$YY \cap KR = \{A\}$ ve $XK \cap YL = \{P\}$ olduğunu biliyoruz. $5$ farklı nokta kullanıldığı ($Y, X, K, R, L$) için Pascal Teoremi'nin dejenere hali kullanılabilir.

size(9cm);
defaultpen(fontsize(9pt));

pair O=(0,0);
pair sec(pair U, pair M){ pair d=M-U; real t=-2*dot(U,d)/dot(d,d); return U+t*d; }

pair X=dir(140.1), Y=dir(270);
pair C=extension(X, X+rotate(90)*X, Y, Y+rotate(90)*Y);
pair A=C+2.618*(Y-C);
pair B=C+1.649*(X-C);
pair P=A+0.423*(B-A);
pair K=sec(X,P), L=sec(Y,P);
pair R=sec(K,A), S=sec(L,B);
pair D=extension(A,B,X,Y);

pen p=black;
draw(circle(O,1), p);
draw(A--B--C--cycle, p);
draw(B--L, p);
draw(X--R, p); draw(Y--S, p);

pen c1=red+1.3, c2=blue+1.3, c3=heavygreen+1.3;
pen d1=red+1.0, d2=blue+1.0, d3=heavygreen+1.0;

// (1)-(4): Y'deki teget (YY) ile RK  ->  A
draw((Y-0.45*unit(A-Y))--A, c1);
draw(R--K, c1);
draw(K--A, d1+dashed);
// (2)-(5): YL ile XK  ->  P
draw(X--K, c2); draw(K--P, d2+dashed);
draw(Y--L, c2); draw(L--P, d2+dashed);
// (3)-(6): LR ile XY  ->  D
draw(L--R, c3); draw(R--D, d3+dashed);
draw(X--Y, c3); draw(X--D, d3+dashed);

// Pascal dogrusu: A, P, D (AB dogrusunun uzantisi)
draw(B--D, black+0.8+dashed);

dot(A); dot(B); dot(C); dot(X); dot(Y); dot(P);
dot(K); dot(L); dot(R); dot(S); dot(D);
label("$A$", A, E);      label("$B$", B, N);
label("$C$", C, dir(215)); label("$X$", X, W);
label("$Y$", Y, dir(-83)); label("$P$", P, dir(60));
label("$K$", K, dir(78));  label("$L$", L, dir(-30));
label("$R$", R, dir(70));  label("$S$", S, dir(30));
label("$D$", D, dir(120));
dot(A, red); dot(P, blue); dot(D, heavygreen);

$YY (1)$ dersek, $RK (4)$; $YL (2)$ dersek $XK (5)$; dolasıyla $LR (3)$ ve $XY (6)$ olacaktır.
Bu da $YYLRKX$ kirişler altıgeninden Pascal Teoremi uygulamak demektir.
Yani $LR \cap XY = \{D\}$ dersek; $A, P, D$ doğrusaldır.

size(9cm);
defaultpen(fontsize(9pt));

pair O=(0,0);
pair sec(pair U, pair M){ pair d=M-U; real t=-2*dot(U,d)/dot(d,d); return U+t*d; }

pair X=dir(140.1), Y=dir(270);
pair C=extension(X, X+rotate(90)*X, Y, Y+rotate(90)*Y);
pair A=C+2.618*(Y-C);
pair B=C+1.649*(X-C);
pair P=A+0.423*(B-A);
pair K=sec(X,P), L=sec(Y,P);
pair R=sec(K,A), S=sec(L,B);
pair Q=extension(X,R,Y,S);
pair D=extension(A,B,X,Y);

pen p=black;
draw(circle(O,1), p);
draw(A--B--C--cycle, p);
draw(X--P, p); draw(Y--P, p);
draw(A--R, p);

pen c1=red+1.3, c2=blue+1.3, c3=heavygreen+1.3;
pen d1=red+1.0, d2=blue+1.0, d3=heavygreen+1.0;

// (1)-(4): X'teki teget (XX) ile LS  ->  B
draw((X-0.45*unit(B-X))--B, c1);
draw(L--S, c1);
draw(S--B, d1+dashed);
// (2)-(5): XR ile SY  ->  Q
draw(X--R, c2); draw(R--Q, d2+dashed);
draw(Y--S, c2); draw(S--Q, d2+dashed);
// (3)-(6): RL ile YX  ->  D
draw(L--R, c3); draw(R--D, d3+dashed);
draw(X--Y, c3); draw(X--D, d3+dashed);

// Pascal dogrusu: B, Q, D (AB dogrusunun uzantisi)
draw(B--D, black+0.8+dashed);

dot(A); dot(B); dot(C); dot(X); dot(Y); dot(P);
dot(K); dot(L); dot(R); dot(S); dot(Q); dot(D);
label("$A$", A, E);      label("$B$", B, N);
label("$C$", C, dir(215)); label("$X$", X, W);
label("$Y$", Y, dir(-83)); label("$P$", P, dir(60));
label("$K$", K, dir(78));  label("$L$", L, dir(-30));
label("$R$", R, dir(70));  label("$S$", S, dir(30));
label("$Q$", Q, dir(70));  label("$D$", D, dir(120));
dot(B, red); dot(Q, blue); dot(D, heavygreen);

Şimdi $XXRLSY$ için Pascal uygulayalım.
$XX \cap LS = \{B\}$, $XR \cap SY = \{Q\}$, $RL \cap YX = \{D\}$ olduğu için $B, Q, D$ doğrusaldır.
Yani $A, B, D, P, Q$ doğrusaldır.